Page 182 - vol1

ami a tanuló számára a leg szomorúbb az, hogy ezen két „varázsszó” csupán
tartalom nélküli absztrakt megnevezés marad, ugyanis egyetlen matematikai
analízis tankönyvben sem láttam megmagyarázni, hogy mit is jelent, hogy ezek a
műveletek „határozatlan esetek”, vagy azt, hogy ezek mitől is lennének
„értelmetlen” műveletek?

Erre a kérdésre természetesen akkor is válaszolhatnánk, amikor már a sorozatok
konvergenciája kapcsán számos határérték számolási módszerrel
megismerkedett (hiszen ekkor fejlettebb eszközökkel rendelkezünk) a tanuló
ellenben ezt nem tartom a legmegfelelőbbnek, ugyanis, ha tisztázatlan
fogalmakkal kell dolgozni tovább, és ezekre építve robotosan oldjuk a
határérték számolási feladatokat, a tanulóban egyre inkább elmélyül az, hogy
ezen fogalmak valami megmagyarázhatatlan, titokzatos dolgok lennének.

A továbbiakban pontosan erre vállalkozunk, hogy a tanuló számára, a
lehető legegyszerűbben megmagyarázzuk, hogy mi is a helyzet ezzel a 7 esettel,
mit értünk az alatt, hogy „határozatlan esetek” vagy, hogy a „műveleteknek
nincs értelme”. Azt, hogy ez mennyire sikerül, a cikk elolvasása után döntse el a
Tisztelt Olvasó!

A magyarázatokat mind a négy esetcsoportra megtárgyaljuk. A −
formális művelet nem úgy tekintendő mint két valós szám közötti kivonás!
Hanem így: ha lim x = és lim y = akkor például − = lim(x − y )
n→ n n→ n n→ n n
mivel is egyenlő? Belátjuk, hogy a −bármennyivel egyenlő lehet! Éppen
ezért nevezik „határozatlan esetnek”, mert az értéke csak esetenként határozott,
és valójában



,
−minden értéke felvehet a R = − + halmazból. Éppen ebből
kifolyólag nem tartom a legszerencsésebbnek az a megfogalmazást amit erre
sok tankönyvben használnak, hogy ezen esetek „értelmetlen műveletek”. Nem
értelmetlenek, hiszen minden egyes egyedi esetben a megfelelő határozatlan
esetet „feloldva” egy-egy eredményt kapunk. Tehát maradjunk annál, hogy a
jelzett 7 eset „határozatlan eset”.

(1) A − értékének a tisztázása végett vegyük például a következő két
+
sorozatot: x = n n a és y = , ahol „a” egy tetszőleges valós szám! Nyílván
n
n
7

182