Page 172 - vol1

Most figyelembe vesszük, hogy n=2k+1, ezért 2k=n-1 amit visszahelyettesítve
kapjuk, hogy

(n − 1)(n + 1)(2n + 3) 2n + 3n − 2n − 3 2n + 3n − 2n 1
3
2
3
2
 (2k + 1) = = = − =
24 24 24 8
1
=  (2 ) − (2.2)
k
8
 0 ha n = 2k
Vezessük be most a következő függvényt: ( )k n =  ahol k 
1
 1 ha n = 2k + 1
természetes szám. Ekkor, a (2.1) és (2.2) összefüggések alapján minden n  1
természetes szám esetén felírható, hogy:
( n n + 1)(2n − 1) k ( )
n
 ( ) = − (2)
n
24 8
Most az (1) és (2) összefüggések alapján megkapjuk az összes háromszögek
számát az S(n)-et ami:

S(n) = ( )n + ( )n =
( n n + 1)(n + 2) + ( n n + 1)(2n − 1) − k ( ) = ( n n + 2) (6n + 3) − k ( ) =
n
n
6 24 8 6 8
−
( n n + 2)(2n + 1) k ( )  ( n n + 2)(2n +  1)
n
= =   (*)
8  8 
 0 ha n = 2k
ahol [a] az a valós szám egész részét jelöli, és ( )k n =  .
 1 ha n = 2k + 1

Ezzel megkaptuk, hogy a (*) képlet adja az összes látható háromszögek számát.

6 8 13   
Az n=6 esetben (6)S =   8   = 78 vagyis ennyi háromszög

látható a dolgozat elején megfogalmazott feladat esetén.

172