Page 171 - vol1

beláthatjuk, hogy a (7) -nek ugyancsak 3 tagja van. Ebből arra következtetünk,
 n 
hogy a ( )n -nek éppen   2   tagja lesz, ahol [a] az a szám egész részét jelöli.

További alapos megfigyelések alapján felírhatjuk, hogy:

 n  n
  1  

2

2 
+
−
 ( ) =  (1 2 3 ... (n + 1 2 )) =  (n + 1 2 )(n + 2 2 )
+
+
−
+
−
n
i
i
i
i = 1 2 i= 1
(2)
Ezt az összeget zárt alakra fogjuk hozni külön-külön az n=2k és n=2k+1
esetekben. Vegyük sorra!
k
k
k
k
−
−
 (2 ) =  (2k + 1 2 )(k + 1 i =  (k + 1)(2k + 1) −  (4k + 3)i +  2i 2
i
)
k
i= 1 i= 1 i= 1 i= 1
=
( k k + 1) ( k k + 1)(2k + 1) 4k − 1
= ( k k + 1)(2k + 1) (4k + 3) + 2 = ( k k + 1) =
−
2 6 6
2 (2k + k 2)(4k − 1)
= .
24
Most figyelembe vesszük, hogy n=2k, így visszaírva a 2k=n értéket kapjuk,
hogy:
( n n + 2)(2n − 1) 2n + 3n − 2n
2
3
 (2 ) = = (2.1)
k
24 24
amennyiben n=2k páros szám. Most zárt alakra hozzuk a (2k + 1) -et is.
Rendre felírható, hogy:
k
k
k
k
−
 (2k + 1) =  (k + 1 i )(2k + 3 2 ) =  (k + 1)(2k + 3) −  (4k + 5)i +  2i =
−
2
i
i= 1 i= 1 i= 1 i= 1
( k k + 1) ( k k + 1)(2k + 1) 4k + 5
= ( k k + 1)(2k + 3) (4k + 5) + 2 = ( k k + 1) =
−
2 6 6
2 (2k + k 2)(4k + 5)
=
24

171