Page 170 - vol1

A kísérletezéseink során hamar rájövünk arra, hogy a megszámlálás
során külön kell választanunk a talpukon álló háromszögeket (  ) és a csúcson
álló háromszögeket ( ). Ebből kifolyólag vezessük be a következő jelöléseket:
legyen S(n) az ábrán látható háromszögek száma, legyen ( )n az ábrán látható,
talpukon álló háromszögek száma, és legyen ( )n az ábrán látható, és a csúcson
álló háromszögek száma. Ekkor természetesen
S(n) = ( )n + ( )n minden n  1 természetes szám
esetén. Szemléltetés képpen tekintsük az n=6 esetén
készített ábrát, azon magyarázva próbálunk általános
jellegű következtetéseket levonni.
Először is nevezzük 1-es háromszögnek azt a
háromszöget, amelynek oldalhossza egy egység, 2-
esnek azt amelynek oldalhossza két egység, és így
tovább. Számoljuk össze módszeresen az 1-es, 2-es, 3-as,… háromszögek
számát, és fogalmazzunk meg képletet a kiszámolásukra. Vegyük észre, hogy az
1-es háromszögből éppen 1+2+3+4+5+6 darab van. A 2-es háromszögből szintén
lefele és balról jobbra haladva láthatjuk, hogy 1+2+3+4+5 darab van, a 3-as
háromszögekből 1+2+3+4, a 4-es háromszögekből 1+2+3, az 5-ös
háromszögekből 1+2 és végül a 6-os (az eredeti) háromszögből 1 darab van. Ezek
szerint felírható, hogy:
 (6) = (1+2+3+4+5+6)+(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4)+(1+2+3)+(1+2)+1
Ennek alapján most már könnyen felírható, hogy az n felosztású háromszög
esetén igaz, hogy:
n
n
n
n
n
2
+
 ( ) =  (1 2 3 ... i =  ( i i + 1) = 1  (i + ) i = 1  i + 1  i =
+
2
+
+
n
)
i= 1 i= 1 2 2 i= 1 2 i= 1 2 i= 1
( n n + 1)(2n + 1) ( n n + 1) ( n n + 1)(n + 2) ( n n + 1)(n + 2)
= + = . Tehát ( )n =
12 4 6 6
Most számláljuk össze a csúcson álló
háromszögeket. Itt valamivel több kísérletezésre
lesz szükség ahhoz, hogy képletet tudjunk
megállapítani. A tanulmányozásunkat ezúttal is az
n=6 esetben készített ábrán végezzük. Az 1-es
típusú háromszögekből 1+2+3+4+5 darab van, a
2-es háromszögekből 1+2+3 van, a hármas
háromszögből 1 darab van. Tehát
+
+
+
+
=
 (6) (1 2 3 4 5) (1 2 3) 1. Vegyük észre, hogy n=6 esetén a
+
+
+
+
 (6)-nak éppen 6:2=3 tagja van. Végezzünk kísérletet az n=7 esetén is. Ott is

170