Page 169 - vol1

19. Hány háromszög látható?

Ebben a dolgozatban a következő típusú feladattal foglalkozunk: Hány
háromszög látható az alábbi ábrán?

Annak ellenére, hogy egyszerű számlálásról van szó, még is gondot okozhat az a
tény, hogy a látható háromszögek száma elképzelhetően elég nagy és félő, hogy
a számlálásból nehogy kimaradjon valamennyi háromszög. Éppen ezért jó lenne,
ha valamilyen módszeres számlálást végeznénk. ami rendszerezi és
áttekinthetőbbé teszi a számlálásunkat. Ha egy számlálási algoritmushoz
eljutnánk, akkor könnyen általánosíthatnánk a feladatot akár hányas
oldalfelosztásra. A továbbiakban éppen ennek a feladatnak az általánosításáról
lesz szó, és mindez csak elemi módszerekkel.

A feladat általánosításának a megfogalmazása már 1962-ben megjelent,
de megoldás nem, aztán másodszor 1966-ban jelent meg , de ekkor sem jelent
meg megoldás, csupán javaslat a megoldásra. Aztán egyre többet kezdtek
foglalkozni a problémával, mígnem az utóbbi 40 esztendőben mindössze már 7-
8 különböző megoldása jelent meg. A megoldások változatosabbnál
változatosabb módszereket mutatnak be, de nem igazán elemi megoldások. Az
alábbiakban egy teljes elemi megoldást mutatok be, minden valószínűséggel leg
természetesebbet és leg elemibbet.
Az általános feladat:
Legyen n  1 adott természetes szám. Egy szabályos háromszög mindhárom
oldalát osszuk fel n egyenlő részre, és húzzuk is meg az oldalakkal párhuzamos
egyeneseket. Számítsuk ki, hogy hány háromszög látható az ábrán?
Ahhoz, hogy megszámláljuk a háromszögek számát szükséges lesz, hogy
kísérletezzünk különböző méretű háromszögekkel, és jól összegezzük a
megfigyeléseinket.

169