Page 166 - vol1

És még itt sincs vége az általánosításoknak, ugyanis a 5. feladat és a 6.

feladatban a kocka helyett tekinthetünk egy a×b méretű téglatestet, és
abban számoljuk meg a felosztás után keletkezett kockákat illetve
téglatesteket. Így hát megfogalmazhatók a következő feladatok:

7. feladat: Legyenek n≥1, és a, b, c természetes számok. Egy a×b×c méretű
téglatestet az oldallapokkal párhuzamos síkokkal felosztunk a×b×c darab
kis kockára. Hány kocka látható az ábrán?

Megoldás: Ismét a 5. feladat bizonyítását kell kövessük, és könnyen
belátható, hogy ezúttal a látható kis kockák száma éppen
n
 (a k + 1)(b k + 1)(c k + 1) , és amennyiben a=b=c=n úgy
−
−
−
k= 1
visszakapjuk az 5. feladatot.
8. feladat: Legyenek n≥1, és a, b, c természetes számok. Egy a×b×c

méretű téglatestet az oldallapokkal párhuzamos síkokkal felosztunk
a×b×c darab kis kockára. Hány téglatest látható az ábrán?

Megoldás: Ezúttal a 6. feladat bizonyítását kell átültetnünk, és
könnyűszerrel látható, hogy a keletkezett kis téglatestek száma
( a a + 1) b (b + 1) c (c + 1)
C 2 ×C 2 ×C 2 =   . Az is könnyen belátható,
a+
b+
c+
1
1
1
2 2 2
hogy ha a=b=c=n akkor visszakapjuk a 6. feladatot. Végezetül figyeljük
meg az 1. feladatnál a látható négyzetek száma éppen
( n n + 1)(2n + 1)
2
2
2
2
2
1 +2 +3 +…+(n-1) +n =
6
A 6. feladatnál látható kockák száma
 ( n n + 1)  2
3
3
+
3
1 + 2 + 3 + ... (n − 1) + n =   .
3
3
 2 
A két feladat abban hasonlít egymáshoz, hogy lényegében a
kocka a négyzetnek a térbeli megfelelője, míg a négyzet síkbeli szabályos
166