Page 165 - vol1

Milyen szám talál a kérdőjel helyére? Indokold meg a válaszodat!

(4)

Ezúttal túl nagy számmal kezdődik a feladvány ahhoz, hogy ennek
alapján megsejtsük a kérdőjel helyére kerülő számot. Ezért inkább a
feladvány általánosítását bizonyítjuk, onnan majd megkapjuk a
feladvány megfejtését is.

6. feladat: Legyen n≥1 természetes szám. Egy kockát, az élekkel
párhuzamos vonalakkal felosztunk n×n kiskockára. Hány téglatest
látható az ábrán?

Megoldás: ezúttal a 2. feladat megoldásainak térbeli változatát kell
végrehajtanunk. Mind a két megoldás átültethető térbe is, de talán
rövidebb a második megoldás. Ennek alapján minden téglatestet úgy
jellemezhetünk, hogy megadjuk a „kis téglatestek” két-két párhuzamos
oldallapját. A „függőleges” oldallappárokat (n+1) sík közül választhatjuk
2
2
ki. Az (n+1) síkból 2 síkot C n+ 1 módon lehet kiválasztani. Ugyancsak C n+ 1
módon választható ki a téglatest két „vízszintes” oldallapját is. Továbbá
hasonló a helyzet a harmadik dimenzió szerint is. Összesen tehát

3
C 2 ×C 2 ×C 2 1 (C 2 ) =   ( n n + 1)   3 téglatest látható az ábrán. Ezért
=
n+
n+
n+
1
1
 n+ 1 2 
 4 5   3
az (5) feladványban a kérdőjel helyére   = 10 = 3 1000 a találó szám.
 2 

165