Page 164 - vol1

A megoldás céljából vegyük észre, hogy az ábrán pontosan ugyanazok a
számok szerepelnek, mint a (2)-es feladványnál, noha a két feladványnak
nem sok köze van egymáshoz, hiszen a (2)-nél téglalapokat kell
megszámolni, itt pedig kockákat. Mégis egyértelmű, hogy a kérdőjel
helyére ezúttal is 100 talál. Ezúttal a számok, az ábrán látható kockák
számát jelölik. Nézzük tehát a feladvány általánosítását:

5. feladat: Legyen n≥1 természetes szám. Egy kockát, az élekkel

párhuzamos vonalakkal felosztunk n×n×n kiskockára. Hány kocka látható
az ábrán?

Megoldás: ezúttal is követhetjük az 1. feladat megoldását, de most
ennek térbeli változatáról van szó: Jelöljünk ki a kockarács bal felső
sarkában egy k×k×k nagyságú kockát. Ezt a kockát egyesével (n-k)- szor
lehet jobbra léptetni a kockarács jobb oldalának az eléréséig. Ha ehhez a

számhoz hozzáadjuk a kezdeti 1 pozíciót, akkor megvan a vízszintesen
megszámlálható kockák száma éppen (n-k+1). Mivel kockarácsról van
szó, ezért függőlegesen, az oszloponként is ugyanennyi van. Sőt a
harmadik dimenzió szerint is ugyanígy van. Innen adódok tehát, hogy
összes látható kockák száma:

n
 (n k + 1) = n + (n − 1) + ... 2 + 1 =   ( n n + 1)   2 .
3
3
3
−
3
3
+
k= 1  2 
Most már bizonyára érthető, hogy miért áll fenn ilyen nagymértékű
számbeli megegyezés a 2. feladat és a 4. feladat között. Ennek
egyetlen magyarázata a következő összefüggés:
 ( n n + 1)  2
3
3
3
3
2
+
+
+
+
+
+
(1 2 3 ... (n − 1) n ) =   = 1 + 2 + 3 + ... (n − 1) + n 3
 2 
És csupán csak ennek alapján adódó egyezésről van szó.
Nézzük a továbbiakban a (2) logikai feladvány térbeli analógját:
164