Page 162 - vol1

oldalpárokat (n+1) egyenes közül választhatjuk ki. Az (n+1) egyenesből 2
2
2
egyenest C n+ 1 módon lehet kiválasztani. Ugyancsak C n+ 1 módon
választható ki a téglalap két „vízszintes” oldalpárja is. Összesen tehát

2
C 2 ×C 2 1 (C 2 ) =   ( n n + 1)   2 téglalap látható az ábrán. Érdekes
=
n+
n+
1
 n+ 1 2 
összefüggés, az, hogy :
 ( n n + 1)  2
+
+
+
+
3
3
3
2
+
3
3
+
(1 2 3 ... (n − 1) n ) =   = 1 + 2 + 3 + ... (n − 1) + n
 2 
Megjegyzés: Könnyen belátható, hogy ha a (2)-es ábra rajzain a négyzet
helyett mind téglalapokat veszünk, akkor is igaz marad a 2. feladat
állítása és megoldásai.
A továbbiakban gondolkozzunk el, hogy az 1.-2. feladatok miként
általánosíthatók tovább is.
Az 1. feladat általánosítása céljából a négyzet helyett tekinthetünk egy
a×b méretű téglalapot, és azt osszuk fel kisnégyzetekre. Ekkor az
általánosabb feladat így néz ki:

3. feladat: Legyenek n≥1, a, b természetes számok. Egy a×b méretű
téglalapot az oldalakkal párhuzamos vonalakkal felosztunk a×b

kisnégyzetre. Hány négyzet látható az ábrán?

Megoldás: a megoldás végett ezúttal is alkalmazható az 1. feladatra
adott szintetikus megoldás, miszerint ha kijelöljük a téglalaprács bal
felső sarkában egy k×k nagyságú négyzetet, ezt egyesével (n-a)- szor
lehet léptetni jobbra, tehát az eredetivel együtt (n-a+1) négyzetünk van.
Teljesen hasonlóan lefele (n-b+1) négyzetünk lesz. Ezért a látható
n
−
−
négyzetek száma éppen  (a k + 1)(b k + 1). Amennyiben a=b=n, úgy
k= 1
visszakapjuk az 1. feladatot.

162