Page 161 - vol1

Hosszabb-kevesebb gondolkodás után rájöhetünk, hogy az előző

feladatban levő 5-ös helyett most azért van 9-es, mert még hozzáadódik
4. Vajon ez mi is lehet? Belátható, hogy a (2)-es ábrasor 2. rajzán még 4
téglalap is látható. Innen adódik az ötletünk, hogy ezúttal ne csak a
négyzeteket számoljuk össze, hanem a látható téglalapokat! (a négyzet
is téglalap, csak sajátos téglalap). Itt is, ha jól felfigyelünk az 1, 9, 36
2
2
számsorozatra okoskodhatunk egy kicsit. Felírhatjuk, hogy: 9= 3 =(1+2) ,
2
2
36= 6 = (1+2+3) és ha ez így folytatódna, akkor a kérdőjel helyére
2
2
(1+2+3+4) =10 = 100 talál. Ez tehát a negyedik rajzon látható téglalapok
száma, amit módszeres számlálással, de nyílván hosszabb idő alatt,
analitikusan is megkaphatunk. Ennek alapján könnyen
megfogalmazhatjuk a feladvány általánosítását:

2. feladat: Legyen n≥1 természetes szám. Egy négyzetet, az
oldalakkal párhuzamos vonalakkal felosztunk n×n kisnégyzetre. Hány
téglalap látható ezen az ábrán?

Ezúttal két különböző megoldást is mutathatunk.

1. megoldás: Az alakzat szimmetriája miatt elegendő a téglalapok
átlóit az összeszámolni. Az n×n-es felosztású négyzetben (a kerületét is
2
beleértve) összesen (n+1)×(n+1)= (n+1) rácspont van, amelyekből átlók
2
indulnak ki. Egy rácspontból összesen n×n=n átló húzható. Ezért
n 2 (n + 1) 2
2
2
(n+1) ×n az átlók számának a kétszerese, így hát téglalapátló
2
van. Mivel minden téglalapnak két átlója van, azért az ábrán látható
n 2 (n + 1) 2  ( n n + 1)  2
téglalapok száma =   . Ha figyelembe vesszük, hogy
4  2 
( n n + 1)
+
+
+
1 2 3 ... (n − 1) n = , akkor máris összhangba jutunk a (2)-
+
+
2
es feladvány megoldásával.
2. megoldás: Minden téglalapot úgy jellemezhetünk, hogy
megadjuk a „kis téglalapok” két-két párhuzamos oldalát. A „függőleges”

161