Page 160 - vol1

1. feladat: Legyen n≥1 természetes szám. Egy négyzetet, az

oldalakkal párhuzamos vonalakkal felosztunk n×n kisnégyzetre.
Hány négyzet látható ezen az ábrán?

Megoldás: az előző megoldás gondolatmenetét követjük: Az 1×1-es
2
kisnégyzetekből éppen n×n=n darab található. Most nézzük a
2×2-es méretű négyzeteket. Ezekből soronként n-1 darab van, és
2
lefele n-1 sorunk lesz, ezért összesen (n-1)×(n-1)=(n-1) darab 2×2-es
kisnégyzetünk lesz. Ezt az eljárást folytatva az
2
(n-1)×(n-1)-es négyzetből, 2 sorban, soronként 2 van, azaz 2×2=2 . És
végül az n×n-es négyzetből 1 darab van. és ezzel megkaptuk, hogy az
n×n-es négyzeten összesen

( n n + 1)(2n + 1)
2
2
2
2
2
1 +2 +3 +…+(n-1) +n =
6
A megoldás során szintetikusan is gondolkodhattunk volna, például
így: Jelöljünk ki a négyzetrács bal felső sarkában egy k×k nagyságú
négyzetet. Ezt a négyzetet egyesével (n-k)- szor lehet jobbra léptetni
a négyzetrács jobb oldalának az eléréséig. Ha ehhez a számhoz
hozzáadjuk a kezdeti 1 pozíciót, akkor megvan a vízszintesen
megszámlálható négyzetek száma éppen (n-k+1). Mivel
négyzetrácsról van szó, ezért függőlegesen, az oszloponként is
ugyanennyi van. Innen adódok tehát, hogy az összes látható
négyzetek száma

n
2
+
2
2
−
2
2
 (n k + 1) = n + (n − 1) + ... 2 + 1 = ( n n + 1)(2n + 1) .
k= 1 6
Ezek után, eszembe jutott, az (1)-hez nagyon hasonló, következő
logikai feladvány: Milyen szám talál a kérdőjel helyére? Indokold
meg a válaszodat!
(2)

160
36