Page 86 - Teszteld magad 9-12

=
=


x e e x x , ahonnan x + n n e = n x így x= 0. Továbbá
n

x  ' x = ' x x = vagyis x + n n ( ') = x n 0 ezért ( ')x n = − x így hát mu-
0
száj, hogy az n = 2k + 1 páratlan legyen, és erre ' = − x . Tehát a he-
x
lyes válasz a (D).
12. Szükséges, hogy (f x y ) = f ( ) f ( ) vagyis (a x y ) 1=
+
x
y
+
+
= (ax + 1) (ay + 1) 5 vagyis (x + − 2) 1 (ax + 1) (ay + 1) 5
−
=
−
+
a
y
ahonnan 2a− + 1= − , ezért a = , ami azt jelenti, hogy a helyes vá-
2
3
lasz a (C).
13. Mivel a 3 relatív prím az 5-tel, ezért a 3-nak van inverze, és ez éppen 2.
Ezért szorozzuk be az első egyenlet mindkét oldalát 2-vel, így kapjuk,
hogy x + 4y = 3 ahonnan x = y + 3 ezért ha sorra feladjuk az y-nak a

=  0, 1, 2, 3, 4 pontosan öt darab x értéket kapunk, ezért a helyes
5
válasz az (E).
x 0 1 2 3 4
14. Készítsük el az f értéktáblázatát: Az alsó
( ) 3 a +
f x 4 2a + 13 4a + 2
a
sorban egyidőben két nulla kell legyen, és ez csak akkor lehetséges, ha
2a + 1 4a + ahonnan a = így a helyes válasz a (C).
=
2
2
15. Mivel (X − 1)(X − 2)(X − 3)...(X − 99)(X − 100) =



+

+
+
= X 100 − (1 2 ... 100)X 99 + ... 1 2 3 ... 100 ezért az X együtt-
+
99

101 100
hatója 1 2 ... 100+ + + = = 5050 ezért a helyes válasz a (B).
2
=
=
−
16. Szükséges, hogy (1)f = f ( 1) 0 legyen, ahonnan ( 1)− n + 1 0 ami
akkor igaz, ha n = 2k − 1, ezért a helyes válasz a (C).
17. A három gyök legyen  − r , ,  +  r és a Viéte összefüggések alap-
ján  − r   + = 3, ahonnan  = 1 ami azt jelenti, hogy x =
+
+
r
1
gyöke az egyenletnek, ezért 1 3 2 a− + − = ahonnan a = , ezért a he-
0
0
lyes válasz az (A).
18. A dupla gyök a derivált egyenletből származik, vagyis az
x − 2x + 1 0 egyenletből, ami csak x = lehet, ezt visszaírva az ere-
=
2
1
deti egyenletbe kapjuk, hogy x − 3x + 2x = , de ennek az egyenlet-
3
2
0
nek nincsenek dupla gyökei, ezért a helyes válasz az (E).
86