Page 85 - Teszteld magad 9-12

−
−
x e e x
5. Mivel x e e x x =  = kell legyen, ezért = ahonnan e =
x
−
−
1 ex 1 ex
de ez lehetetlen, mert a semleges elem nem függ a változótól, ezért a
helyes válasz a (B).
+
6. Kell teljesüljön, hogy 6 6 = 36 36 36   ahonnan   42 .
−
−
6
+
−
Másfelől 7 7 = 49 42 42   , ahonnan   42 . Ezért  = 42 ,
−
7
ami azt jelenti, hogy a helyes válasz az (A).
7. Az asszociativítás axiómája szerint szükséges, hogy teljesüljön:



x
(x y ) z =  (y z . Kiszámoljuk mind a két oldalt, és egyenlővé
)
tesszük: (x y ) z = xyz − 2xy − 2yz − 2zx − 2x − 2y + ( − 2)z  − il-



letve x (y z = xyz − 2xy − 2yz − 2zx + ( − 2)x − 2y − 2z  − ahon-

)
nan  2 =   − = 6 adódik, ami azt jelenti, hogy a helyes válasz az
4
(E).
8. Szükséges, hogy x y  2 legyen, ami azt jelenti, hogy

xy − 2x − 2y  + 2  (x − 2)(y − 2)   + − 6 0 és ha x = y = 2 akkor
 − 6  0 , ezért a helyes válasz a (D).
+
9. Szükséges, hogy x e e x x =  = legyen, ahonnan xe − 2x − 2e  =
x

minden valós x értékre, ezért x = esetén is igaz, ahonnan e = és
0
2

ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy x = 3x minden valós x esetén,
2
6
ezért  = , ami azt jelenti, hogy a helyes válasz a (B).
10. A művelet asszociatív kell legyen, és létezzen semleges elem. Tehát



x
)
(x y ) z =  (y z , és kiszámítsuk mind a két oldal kifejezését:
+
2

+
−
−
−

−
(x y ) z = xyz axy byz azx a x aby bz valamint
+
2
+

−
−
−
x (y z = xyz axy byz bzx ax aby b z ahonnan a = és
−
)
b
a = − , a b = − . Tehát a = b = 0 vagy a = = − 1. Ezekkel a feltéte-
2
2
b
b
lekkel ellenőrizzük a semleges elem létezését is, és azonnal kapjuk,
hogy teljesülnek az x e e x x =  = feltételek. Tehát a helyes válasz a
(C).
11. A művelet asszociatív kell legyen, kell legyen semleges elem és min-
den elem invertálható kell legyen.
n
n
n
n
n
(x y ) z = n (x y ) + z = n x + y + z =  ( y z ) , továbbá
x
85