Page 82 - Teszteld magad 9-12

 x − 1
2
 − 2
2
 ( x + ) 1 ha x  0

f ' ( ) = 
x
14. Felírható: x − 1 ha x  ahonnan szélsőérték pontok az
0
2

 2 2
  ( x + ) 1
x = − 1 illetve x = , ezért a helyes válasz a (C).
1
15. A függőleges asszimptóta miatt az x= -2 a nevezőnek a gyöke kell le-
− x − 2x b a
+
−
2
gyen, ezért 4-2a+b= 0. másfelől f '( ) = aminek
x
(x + 2 ax + ) b 2
−
−
+
x = − 1 zérushelye kell legyen, ezért 1 2 b a = . Megoldva a két
−
0
egyenletből álló egyenletrendszert kapjuk, hogy a= 7 és b= 10, ezért a
helyes válasz a (D).
x
f ( ) ax 2
16. Szükséges, hogy m= 1 legyen, vagyis lim = 1 lim = 1
2
x→ x x→ x + x
ahonnan a= 1, ezért a helyes válasz a (B).
+
2
0
17. A D max = \{b}alakú csak akkor, ha az x + 4x a = egyenlet esetén
 = 0 , ezért a = és b = − 2, ami azt jelenti, hogy a helyes válasz az
4
(E).
18. A derivált egyenlet: (x x − − 2) 0 aminek a gyökei 1,0,2− . Elké-
=
2
x
−
szítjük a Rolle sorozatot a − , 1,0,2,+ esetén ez , , , ,+ − − − + ami két
előjelváltást jelent, ezért a valós gyökök száma kettő, így a helyes válasz
az (A).

2
3
4
x
19. Legyen f ( ) = x + 2x − x + + 2, mivel f (0) = 2 0 és
x

−
f ( 1) = − 1 0, ezért az f(x)=0 egyenletnek van legalább egy gyöke a (-
1, 0) intervallumban, ezért a helyes válasz a (C).
0
20. A cos x = gyökei az egyenletnek nem megoldásai, ezért végig osztunk
cosx -el, kapjuk, hogy tgx x= . Készítsük el az ( )f x = tgx grafikus áb-
   
ráját a − ,  intervallumon, majd húzzuk be az y = egyenest. Ez
x

 2 2 
az ábrát az x = abszcisszájú pontban metszi. Továbbá most rajzoljuk
0
meg az ( )f x = tgx grafikus képét minden  hosszúságú intervallumon.
82