Page 90 - Teszteld magad 9-12

x
x
x
16. Mivel f − 1 ( ( )) = , ezért végezzük el a t = f ( ) változócserét, és
f
2
kapjuk, hogy I =  0 1 xf '( )dx =  0 1 x (3x + 1)dx = 5 , ezért a helyes válasz az
x
4
(E).
17. L’Hospital tételét alkalmazzuk kétszer:
 x t lntdt F ( ) F (1) F '( ) x ln x 1 ln x 1 1
−
x
x
lim 1 = lim = lim = lim = lim = lim = 0
x→ x 3 x→ x 3 x→ ( ) 'x 3 x→ 3x 2 3 x→ x 3 x→ x
ezért a helyes válasz az (A).
18. A fogó tételét alkalmazzuk, miszerint nx − 1   nx amit integrálva
nx
n 1 n  n 1  1 1 1
nx
kapjuk, hogy − 1   dx  ezért lim  −   lim   dx 
nx
2 0 2 n→  2n n  n→ n 0 2
1 1 1
nx
így lim   dx = , ezért a helyes válasz a (D).
n→ n 0 2
2
1 2x 1 (d x + 1)
19. T =  0 x + 2 1 dx =  0 x + 2 1 = ln(x + 1) = ln2 , ezért a helyes válasz a
2
1
0
(B).
  cos2x  2  cos2x   d (1 sin 2 )
+
x
20. V =  0  4     dx  =  4 dx =  4 =
+
+
 sin x + cos x  0 1 sin 2x 2 0 1 sin 2x
 
= ln(1 sin 2 ) = ln 2 , ezért a helyes válasz az (A).
+
x
2 2
3x 2 1 3x 2 1 3x 2
21. Az ( )f x = függvény páros, ezért I =  dx = 2  dx =
+
+
+
1 x 6 − 1 1 x 6 0 1 x 6
x
3
2  0 1 d 3 ( ) = 2arctgx 3 1 0 =  , ezért a helyes válasz a (B).
(x +
1)
2
22. A Lagrange-féle középérték tételt alkalmazzuk az  ,n n +  1 intervallu-
x
mon az ( )F x = arctg függvényre, miszerint létezik olyan
x + 1
90