Page 91 - Teszteld magad 9-12

−
c  n  ,n n +  1 amelyre (F n + 1) F ( ) =  n n+ 1 arctg x + x 1 dx = arctg c + c n 1 . És
n
mivel limc = + , ezért n
n→ n
lim  n+ 1 arctg x dx = lim arctg c n = arctg 1=  ,
n→ n x + 1 n→ c + n 1 4

ezért a helyes válasz a (D).

23. Parciálisan integrálva kapjuk, hogy

   e x sinnxdx =    e x   − cosnx   ' dx = − e x cosnx  + 1    e x cosnxdx = 1 a .

n
2 2  n  n 2 n 2 n
  
Az a = − e  cosn + e 2 cosn +   e x cosnxdx sorozat korlátos, mert
n
2 2
 

x
a  e + e +   e dx minden n  esetén, ezért
1
2
n
2
lim    e x sinnxdx = lim a = 1 0 , így a helyes válasz az (A).
n→ n→ n n
2
1 1 1
0 
24. A fogótétel szerint 0   x e dx e x dx = e így

2n
2n x
0 2n + 1
1

lim x e dx = , ezért a helyes válasz az (A).
2n x
0
n→
0
1 x + n x n + 1 x n 1 x + n x n − 1
25. A fogótételt alkalmazzuk, miszerint  
+
+
+
2 1 x 1 x 2 1 x
n 1 x n 1
amit integrálva kapjuk, hogy:  n  dx  és itt a határértékre
+
2(n + 1) 1 x 2
0
1 x n 1
térve kapjuk, hogy lim n  dx = , ezért a helyes válasz az (E).
+
n→ 1 x 2
0

91