Page 80 - Teszteld magad 9-12

n 2 n 2
és mivel lima = = 1= = limc ezért limb = ami azt
1
n→ n n + 2 n n + 2 1 n→ n n→ n
jelenti, hogy a helyes válasz a (B).
6. Alkalmazzuk a Stolz-Cézaro féle lemmát. Legyen
a − a
−
a = 2+ 2 + 3 2 ...+ n 2 n és b = lnn. Ekkor lim b n+ 1 − b n =
+
n
n
n→
−
−
n + 1 2 1 (n + 1)( n + 1 2 1) ln2 n+ 1 n
= lim = = = ln2 ami azt jelenti,
−
n→ ln(n + 1) lnn  1  n+ 1 lne
ln 1+ 

 n 
hogy a helyes válasz a (B).
 2  2 1 1 1
7. Mivel lim x =  lim x = és x = + + + ...+ =
1
2n
n
n→ n 6 n→ 2n 6 2 2 3 2 (2 ) 2
 1 1 1   1 1 1  1
=  1+ + + ...+ 2   + + ...+ 2  = y + x te-
+
n
2n
n
 3 2 5 2 (2n − 1)   2 2 4 2 (2 )  4
1  2 1  2  2
hát y = x − x , ezért lim y = − = , ami azt jelenti, hogy
n
n
4 2n n→ n 6 4 6 8
a helyes válasz az (A).
 an + 1 n
8. Mivel az a = n   , n  1 általános tagú sorozat konvergens és ha-
 n + 2 
tárértéke nem nulla, ezért a  és muszáj a = legyen, ekkor azonban
0
1
n+ 2
−
n
 n + 1   1  n 1
−
1
a = = 1− → e = , így a helyes válasz az (A).
n    
 n + 2   n + 2  e
n n
9. Mivel ( 1+ ) 2 = a + b n 2 , ezért ( 1− ) 2 = a − b n 2 ahonnan
n
n
1 1

a =  (1+ 2) + (1− 2) , és b =  (1+ 2) − (1− 2) 
n
n
n
n
n   n  
2 2 2
 1− 2  n
1+  
a  1+ 2 
ezért lim n = 2 lim = 2 , ezért a helyes válasz az (A).
n→ b n→ n
n  1− 2 
1−  
 1+ 2 
80