Page 74 - Teszteld magad 9-12

 1 1 1  1 2 1


10. Felírható, hogy A =   0 1 0 , A =   0 0 1 ,
3
2


   
 0 0 1   0 1 0 
 1 2 2  0 1 1


A =   0 1 0 . Ezért A − A =   0 0 0 = A − I valamint
4
2
1
3


3
   
 0 0 1   0 0 0 
 0 1 1

A − A =   0 0 0 = A − I . Ezért indukcióval feltételezhető, hogy
2
4
2

3
 
 0 0 0 
2
A − A n− 2 = A − I , és bizonyítjuk, hogy A n + 1 − A n − 1 = A − I is igaz.
2
n
3
3
n
2
2
3
Valóban, A n+ 1 − A n− 1 = ( A A − A n− 2 ) = ( A A − I 3 ) = A − A = A − I .
3
Ezért a helyes válasz a (D).
 a + bc 0 
2
2
11. Felírható, hogy A =   = (a + bc )I , ezért felté-
2
2
2
 0 a + bc 
n
telezzük, hogy A = 2n (a + 2 bc ) I és bizonyítjuk, hogy
2
A 2n + 2 = (a + 2 bc ) n + 1 I . Valóban,
2
2n
2
n
2
2
A 2n + 2 = A A = (a + bc ) (a + bc ) I = (a + bc ) n + 1 I . Tehát a he-
2
I
2
2
2
lyes válasz a (C).
12. A trigonometriai képleteket használva felírható, hogy
 2  2    3  3  
 cos n − sin n   cos n − sin n 
A =  2  , A =  3  , …,
 2  2    3  3  
 sin cos   sin cos 
 n n   n n 
 (n − 1)  (n − 1)    n  n  
 cos n − sin n   cos n − sin n 
A n− 1 =   , A = n  =  I −
2
 (n − 1)  (n − 1)    n  n  
 sin cos   sin cos 
 n n   n n 
és a további hatványokra minden kezdődik elölről. Tehát a halmaznak
pontosan n eleme van, ezért a helyes válasz a (D).
74