Page 53 - Tuzson - Teszteld magad A5-2019

n
15. Felírható, hogy ( )E n = C  2n , ezért a helyes válasz a (B).
C 1 C 1 C 1006
16. Ellenőrizhető, hogy 2 = 2 = ... = 2012 = 2 ezért A= 2, és
C 2 C 2 C 1006
3 3 2011
B = 2 2012 így hát A 2012 = B , vagyis a helyes válasz a (B).
17. A faktoriális értelmezése alapján belátható, hogy ha n  , akkor
5
az !n utolsó számjegye 0. De mivel az 1!+2!+3!+4!=33 utolsó
+
+
+
számjegye 3, ezért az S = 1! 2! 3! ... n szám utolsó számjegye
+
!
is 3, tehát a helyes válasz a (D).
−
2012 k k
k
18. Az általános tag képlete T k+ 1 = C 2012 2 3 3 és ez akkor racionális,
2
−

ha 2012 k   k− 2   k  2,5,8,...,2012 valamint  k 
3 3 2


 k 0,2,4,...,2012 és a két halmaz metszete 2,8,14,...,2012
amelynek éppen 336 eleme van tehát ennyi tag racionális, és
2013-336=1677 tag irracionális, ezért a helyes válasz a (C).
−
19. Mivel (2− 3) = a b 3, ezért (2+ 3) = a b 3 így hát
+
n
n
a − 3b =  (2 − 3)(2 + 3) n = 1, ezért a helyes válasz az (A).
2
2
 
20. Mivel E = (2+ 3) 2012 + (2− 3) 2012 = a b 3 a b 3 2a ,
=
−
+
+
ezért a helyes válasz a (C).
21. Mivel ( )f x = − x + 5x  és az egyenlőség x= 0 vagy x= 5 ese-
2
0
tén áll fenn, ezért a függvénynek van minimuma. Másfelől a
b 5
2
x
g ( ) = − x + 5x függvénynek maximuma van, amit x = − =
2a 2
értékre vesz fel. Tehát a helyes válasz a (C).
22. A baloldalon szereplő függvény szigorúan növekvő, a jobboldalon
szereplő függvény szigorúan csökkenő, ezért ha az egyenletnek van
megoldása, akkor legfeljebb csak egy megoldása van. És mivel x=1
éppen megoldás, ezért a feladatnak pontosan egy megoldása van.
Így hát a helyes válasz a (B).
1
23. Jelölje y = (2 + 3) , ekkor (2 − 3) = x , ezért az egyenlet
x
y
2
így alakul: y − 4y + 1 0 amelynek a gyökei y 1,2 = 2  3 , ezért
=
53