Page 58 - Tuzson - Teszteld magad A5-2019

 1 2 3 4 5  1 2 3 4 5
4
 =   ,  = 5   = e , vagyis
 5 1 2 3 4   1 2 3 4 5 
A =  , ,e   2 , 3 , 4  , ami azt jelenti, hogy a helyes válasz az (E).

2. Az alsó sorban sorra meg kell nézzük, hogy mindegyik szám előtt
(balra) hány kisebb szám van: az 1 előtt 1006, 2 előtt 0, 3 előtt 1005, 4
előtt 0, 5 előtt 1004,…és így tovább. Összesen tehát az inverziók szá-

+
+
ma: 1006 1005+ ++ 3 2 1= 1006 1007 , ezért a helyes válasz az
2
(A).

 ,
3. Az értelmezés alapján A B ,C   = A  ,B C   ,B C A−  =

−
−
−
−
= ( A BC CB ) (BC CB )A ABC ACB BCA CBA . Hasonlóan
=
+
−
−
−


kapjuk, hogy B C A = BCA BAC CAB + ACB és
,
 ,


−
−
   , C A B = CAB CBA ABC + BAC és ezt a hármat összeadva kap-

,

 
+
juk, hogy S =   , A B ,C    , B C A +  , C A B  = O . Ezért tehát a
,
,
 
 


2
helyes válasz a (B).
 7 3 4 

4. Felírható, hogy A = A A =   . Indukcióval feltételezzük,
2
 4 7 

 x 3 y    x 3 y 
n
hogy A =  n n  .Bizonyítjuk, hogy A n+ 1 =  n + 1 n + 1  is
 y n x n   y n + 1 x n + 1 
 2x + 3y 3x + 6y 

n
igaz. Valóban, A n+ 1 = A A =  n n n n  ahonnan kapjuk,
 x + n 2y n 2x + n 3y n 
hogy x n+ 1 = 2x + n 3y és y n+ 1 = x + n 2y . Tehát minden természetes n
n
n
 x 3y 
esetén az A mátrix   alakú, ezért a helyes válasz a (D).
 y x 
5. Hatványozással kapjuk, hogy
 a − b a − b  a − 2 b 2 − 2ab 
2

A = A A =    =   , továbbá
2
 b a  b a   2ab a − b 2 
58