Page 99 - vol2

Ellenben ennék jobb becslés is van:

a
b
a
0
b
7. állítás: M ( , ) E ( , ) bármely ,a b  , x  esetén, vagyis
2 x
a + 2 b 2  1 ln e + ax e bx .
2 x 2
2 2
2 2
ax
e + e bx a x + b x
Bizonyítás: Az egyenlőtlenség még így írható:  e 2 és ha
2
+
e p + e q p q
a x = 2 2 , p b x = 2 2 q akkor bizonyítani kell, hogy  e 2 és ez
2
=
x
igaz, ugyanis az f ( ) e függvény konvex, ezért a Jensen-féle
x
q
f ( ) + p f ( )  f  p q  + egyenlőtlenséget alkalmazva, éppen a
2   2  
bizonyítandó egyenlőtlenséget kapjuk.
2. Exponenciális-logaritmikus közép
Értelmezése ( , )e a b = e ln lnb , bármely ,a b  esetén.
0
a
Ezzel kapcsolatosan a legegyszerűbb eredmény a következő:
8. állítás: min( , )a b  e ( , ) M 0 ( , ) vagyis min( , )a b  e ln lnb  ab
a

b
a
b
a
Bizonyítás: A baloldali egyenlőtlenség nyilvánvaló, a másik
ln a + ln b
ln lnb  ln ab vagyis ln lna b  vagyis (ln a − ln )  b 2 0
a
2
Egy másik nevezetes középarányos a következő:
Logaritmikus közép
 a b a 
−
Az értelmezése ( , )L a b =  ln a − lnb b , a ,b  0 esetén.

 a a b
=

Ezzel kapcsolatosan leghamarabb a következő egyenlőtlenséglánc
bizonyítható:


a
b
b
9.állítás: M 0 ( , ) L ( , ) M 1 ( , ) másszóval,
a
b
a
+
−
a b a b
ab   bármely a  pozitív számok esetén.
b
ln a − ln b 2
a
Bizonyítás: Nyilván feltételezhető, hogy b  . Ez utóbbi
a − a +
a b 1 b 1
egyenlőtlenséglánc így is írható:   . Ezért, ha most
b a 2
ln
b
99