Page 94 - vol2

10. Középarányos egyenlőtlenségekről

Ebben a paragrafusban különböző ismert, és kevésbé ismert
középarányosokkal, és köztük levő egyenlőtlenségekkel foglalkozunk.
Előre bocsájtjuk, hogy ebben a paragrafusban csak két számra vonatkozó
középarányosokkal foglalkozunk.
A középarányosokkal már a gimnáziumban levő tanulók is
találkoznak, és bizonyítják is a következő egyenlőtlenségláncot:
0
Ha ,a b  , akkor fennállnak a következő egyenlőtlenségek:
+
2 a b a + 2 b 2
min( , )   a b    max( , ) (1)

b
a
a
b
1 + 1 2 2
a b
ahol balról jobbra a kifejezések a harmonikus-, mértani., számtani- és
négyzetes közepek. Egyenlőtlenség mindenhol csak az a=b esetben áll
fenn. Az egyenlőtlenségek bizonyítása teljes négyzetek kialakításával
könnyűszerrel elvégezhető, ezen kívül még létezik geometriai bizonyítás
is a félkörön:

+
2
2 a b a + b 2
b  HM =  GM = ab  AM =  RMS =  a .
1 + 1 2 2
a b
Az egyenlőtlenségek egy további bővítését és általánosítását
kapjuk, ha bevezetjük az úgynevezett hatványközepet:
Hatványközép (Hölder közép)
Értemezése a következő képpen történik:

94