Page 98 - vol2

=
L = limL ( , ) max( , ) , stb. Belátható, hogy a Lehmer-közép
a
b
a
b

x→ x
monoton növekvősége alapján, megkapjuk a már tárgyalt (1)
egyenlőtlenség láncot is, és a kontraharmonikus közepet is
általánosítottuk.
Egy újabb, talán kevésbé ismert közép, a következő:
Heinz-közép
−
−
1 x
x
a b 1 x + a b x
b
A Heiniz-közép értelmezése H ( , ) = bármely ,a b 
a
0
x
2
és x   esetén. Ezzel kapcsolatban ismert, hogy
0,1
+
a b
5.állítás: Ha ,a b  , akkor ab = H 1 ( , )  H x ( , )  H 0 ( , ) =
b
a
0
a
b
b
a
2 2
Bizonyítás: A baloldali egyenlőtlenség azonnali a számtani.mértani
közepek egyenlőtlensége alapján, miszerint
−
−
x
1 x
a b 1 x + a b x
−
−
a
b
 a b a b = x 1 x 1 x x ab vagyis H x ( , )  ab . Másfelől,
2
b
a jobboldali egyenlőtlenség bizonyítása végett feltételezzük, hogy a 
 a  x a
+
továbbá legyen   = t . Ekkor bizonyítani kell, hogy bt +  a b
 b  t




a
a 
vagyis (t − ) 1 t − a    0 másképpen   a  x − 1    x −   0 és ez

 
 b    b    b  b 



igaz, hiszen x   .
0,1
Egy másik ritkán használt közép, a következő:

1. Exponenciális-logaritmikus közép
ax
1 e + e bx
b
0
a
Értelmezése E ( , ) = ln , bármely ,a b  , x  .
x
x 2
Ezzel kapcsolatosan a legegyszerűbb eredmény a következő:

6. állítás: M 1 ( , ) E x ( , ) bármely ,a b  , x  , vagyis
0
a
b
a
b
+
a b  1 ln e + ax e bx
2 x 2
Bizonyítás: Ez valóban igaz, hiszen ha alkalmazzuk a számtani-mértani
közepek közötti egyenlőtlenséget, akkor felírható, hogy
+
1 ln e + ax e bx  1 ln e (a b x = a b .
+
)
x 2 x 2
98