Page 95 - vol2

 1
x
  a + b  x x x  0

0
Ha ,a b  , akkor M x ( , ) =    2   ,  x esetén.
a
b

  ab x = 0
Most először is igazoljuk, hogy:

1. Tétel: Ha ,p q és p q , akkor M ( , ) M ( , ) , vagyis a
a
b
b
a
p q
hatványközép függvény, monoton növekvő.
Bizonyítás: Először is feltételezzük, hogy 0  p q . Tulajdonképpen

1 1
 a + p b  p  a + q b  q
p
q
bizonytani kell, hogy      . Feltételezhető, hogy
 2   2 
a
0 b  a, így ha bevezetjük, hogy = t akkor t  1 és bizonyítani kell,

b
1 1
t  p + 1 p t  q + 1 q t + 1 t + 1
p
q
p
q
hogy      . Tehát t  t továbbá  1 és  1,
 2   2  2 2
1 1
t  p + 1 p t  q + 1 q
ezért      . Teljesen hasonlóan bizonyítunk abban az
 2   2 
esetben amikor p q  0 . Ezzel bizonyítottuk a tételt.
A tétel következményeképpen felírhatók:
2
+
3
a b a + b 2 a + b 3
a
Mivel M 1 ( , ) = , M ( , ) = , M ( , ) = 3 ,
b
a
a
b
b
2 2 2 3 2
  3   2
 2   2  2ab
M − 3 =   , M − 2 =   , M − 1 = , M = ab ,
0
+
 1 1   1 1  a b
 +   + 
 3 a 3 b   a b 
 a + b  2  3 a + 3 b  3
M =  1    , M =  1    (inverz hatványközepek),
2  2  3  2 
ezért a monotonítás alapján
b  M − 3 ( , )  M − 2 ( , )  M − 1 ( , )  M 0 ( , )  M 1 ( , )  M 1 ( , ) 
b
a
a
a
b
a
b
b
a
a
b
b
3 2



 M ( , ) M ( , ) M ( , ) a (1’)
a
b
b
a
b
a
1 2 3
95