Page 97 - vol2

a + 2 b 2 a + 2 b 2
Bizonyítás: A balldali egyenlőtlenség  ami azzal
+
2 a b
egyenértékű, hogy (a + b 2 )(a b  . Legyen most például a  , így
2
−
2
0
)
b
a + b 2
2
=
a
max( , ) b így bizonyítani fogjuk, hogy  b , másképp írva
b
+
a b

2
a  ab  a b.
Könnyen felmerülhet a kérdés, hogy milyen viszony áll fenn, a
kontraharmonikus és Heron-féle közepek között? Erre a válasz:
0
4. állítás: Ha , a b  , akkor H ( , )  K ( , ) vagyis
b
b
a
a
2
+
a + ab b  a + b 2 .
+
3 a b
Bizonyítás: Az egyenlőtlenség ekvivalens ezzel:
+
2a + 2b  2ab+ (a b ) ab . Legyen most   a   2 = t így bizonytani
2
2
 b 

2
3
4
t
t
kell, hogy 2t − − 2t − + 2 0 vagy csoportosítással
(t − 1) (2t + 3t + 2) 0 ami nyilvánvalóan igaz.

2
2
A hatványközéppel hasonló általánossági szintű közép a
következő:
Lehmer-közép
a + b x
x
0
a
Ha ,a b  , akkor L ( , ) = , bármely x esetén.
b
x
a x − 1 + b x − 1
Most először is igazoljuk, hogy:

2. Tétel: Ha ,p q és p q , akkor L p ( , ) L q ( , ), vagyis a
b
a
b
a
hatványközép függvény, monoton növekvő.
x
a + b x
x
Bizonyítás: Tekintsük az f ( ) = függvényt, ami még így
a x − 1 + b x − 1
+
x
x
−
a + b x (a b )(ln a − ln )a b + 1
1 x
b
írható: f ( ) = ab és innen f '( ) =
x
x
ba + ab x (ba + ab x ) 2
x
x
ami nem negatív, tehát a függvény valóban monoton növekvő.
Akárcsak a hatványközép esetén, itt is a sajátos esetekben
=
a
a
visszakapjuk a klasszikus közepeket: L = lim L ( , ) min( , ) ,
b
b
−
x→− x
+
2
2ab a b a + b 2
a
b
L ( , ) = , L = ab , L = , L = ,
0
+
+
a b 1 1 2 2 a b
2
97