Page 96 - vol2

Ezáltal az (1) egyenlőtlenséglánc további bővítését és
általánosítását kaptuk, a hatványközép által.
A számtani-, mértani- és harmonikus közepek állítólag még
Pitagorász idejéből származnak, ezért Pitagorászi középarányosoknak is
nevezik. Ugyancsak az ő idejéből származik a következő közép is:
Héron-féle közép
+
a + ab b
Az értelmezése pozitív ,a b esetén így történik: H ( , ) = .
a
b
3

Ezzel kapcsolatos leg egyszerűbb eredmény a következő:


0
b
a
a
b
a
b
1. állítás: Ha ,a b  , akkor M ( , ) H ( , ) M ( , ) vagyis
0 1
a + ab b a b
+
+

a b   .
3 2
+
a + ab b
Bizonytás: könnyen felírható, hogy a b   
3
+
+
( a − b ) 2  0 . Úgyszintén a + ab b  a b  ( a − b ) 2  0.
3 2
Nyomban felmerül a kérdés, hogy vannak-e jobb becslések a
Héron-féle középarányosra. A válasz igenlő, az alsó korlátot lehet még
élesíteni.
a
0
2. állítás: Ha , a b  , akkor M 1 ( , )  H ( , ) vagyis
a
b
b
2
 a + b  2 a + ab b
+
     .
 2  3
+
+
a + 2 ab b a + ab b
Bizonyítás: Az egyenlőtlenség másképpen 
4 3
vagyis ( a − b ) 2  0.
Ugyancsak Pitagorász idejéből származik a következő közép is:
Kontraharmonikus közép
a + b 2
2
Az értelmezése pozitív ,a b esetén így történik: ( , )K a b = .
+
a b
Ezzel kapcsolatos leg egyszerűbb eredmény a következő:


b
a
3. állítás: Ha ,a b  , akkor M 2 ( , ) K ( , ) max( , )
a
0
b
a
b
96