Page 92 - vol2
P. 92
Megoldás: A logikai szita formulát alkalmazzuk három halmaz esetén:
Összes ültetési lehetőségek: 9!. Ha (legalább) egy nép blokkban ül :
C 1 7! 3! , ha (legalább) két nép blokkban ül : C 5! 3! 3! , ha mind a 3
2
3 3
csapat blokkban ül : C 3 3! 3! 3! 3! . Így az
3
S − (A C ) = S − A − B − C + A B + B C + C A − A C
B
B
−
szitaképlet alapján a kért érték: 9! C− 1 7! 3! C 5! 3! 3! C 3 3! 3! 3! 3!.
+
2
3 3 3
Megjegyzés: Észrevehető, hogy az előbb kapott eljárás és eredmény
általánosítható, ha 3-3-3 személy helyett k-k-k személyt veszünk, akkor
−
1
+
az eredmény: (3 )!k − C (2k + 1)! ! C (k + 2)! ! ! C k ! ! ! !
2
3
k
k
k
k
k
k
3
3
3
Ha pedig a 3 csoport helyett p csoportot tekintünk, akkor az előbbi
eredmény ez lesz:
2
p
1
+
−
−
+
−
k
k
k
k
( pk )! C (( p − 1)k + 1)! ! C (( p − 2)k + 1)! ! ! ... ( 1) C p p k ! ! ... k !
p
p
−
(k + 1) tag
19. feladat: 4 házaspár hogyan helyezhető el egy kerek asztal körül úgy,
hogy házastársak nem kerülnek egymás mellé.
Megoldás: A logikai szita-formulát alkalmazzuk négy halmaz esetén. Az
A , 1 i 4 halmazba azok a (számunkra nem kedvező) esetek kerülnek,
i
amelyekben az i-edik férj és feleség egymás mellett ülnek. Az összes eset
száma 7!. Ha egy házaspár egymás mellett ül (a többi lehet, hogy egymás
mellett ül, lehet, hogy nem), akkor az egymás mellett ülő pár
1
C -féle képpen választható ki, a pár és a többi 6 ember a kerek asztal
4
körül 6!-féle képpen ülhet le, és a pár egymáshoz képest 2-féle képpen
helyezkedhet el, tehát ezeknek az eseteknek
a száma C 1 4 6! 2 A többi eset hasonló módon számolható ki. Az összes
4
2
+
2
3
eset száma tehát: 7! C− 4 1 6! 2 C 5! 2 − C 4! 2 + C 3! 2
3
4
4
4
Megjegyzés: Észrevehető, hogy az előbb kapott eljárás és eredmény
általánosítható a 4 helyett k házaspárra, amikor az eredmény a következő
lesz:
1 2 2 k− 1 k− 1 k− 1 k k k
(2 )! C (2k − 1)! 2 + C (2k − 2)! 2 − ... + ( 1) C (k + 1)! 2 + ( 1) C k ! 2
−
−
−
k
k k k k
Némiképpen kakukktojás a következő feladat, ugyanis a
szitaformulával nem oldható meg, és a halmazábrával történő ábrázolása
is különös, de mindenképpen érdemes bemutatni.
20. feladat: Egy repülőgép utasairól a következőket tudjuk: 9 fiú, 5
magyar gyermek, 9 felnőtt férfi, 7 külföldi fiú, 14 magyar, 6 magyar férfi
92
