Page 90 - vol2

A  C = A + B + C − A B − B  C − C  A + A  C ahol
B
B
A  C = 0.
B
a
Ha  A, akkor a=3x, b=3y és 3x+3y= 2001 vagyis x+ y= 667 és 0<
b
x< y. Így megkapjuk, hogy A = 333. Teljesen hasonló módon
meghatározva a többi halmaz számosságát is kapjuk, hogy
B = 43, C = 34, és A B = 14, B  C = 1, C  A = 11. Így

+
=
A  C = 333 43 34 14 1 11 384. Tehát az irreducibilis
+
−
−
−
B
törtek száma 1000- 384= 616.
15. feladat: Hány féle képpen tehetünk be 30 szál virágot 15 különböző
színű vázába, ha a virágok különbözőek, és minden vázába kell jusson
legalább egy virág.
Megoldás: Az összes lehetséges kiosztások halmazát jelöljük H-val, és
legyen A azon kiosztások halmaza amelyeknél az i. váza üres marad,
i
1 i  15. A jó kiosztások halmaza tehát H − ( A  A  ... A 15 ) .

1
2
Továbbá H = 15 , A = 14 (függetlenül az i-től) hiszen virágonként
30
30
i
14-féle képpen dönthetünk (az i-edik váza üresen kell maradjon),
A  i A = j 13 mert jelenleg két váza tiltott (az i. és a j. váza).
30
30
Hasonlóképpen egy k-as metszetnek (15 k− ) eleme van (k váza tiltott).
k
Általában k-as metszetből C darab van, ezek elemszáma mindig
15
ugyanakkora. A szita-formula szerint tehát: H − ( A  A  ... A 3 ) =
1
2
−
−
−
= 15 −  30 ( 1) C  (15 k ) =  30 ( 1) C  (15 k ) .
−
k
k
30
k
30
30
k
15
15
k= 1 k= 0
Megjegyzés: Észrevehető, hogy az előbb kapott eljárás és eredmény
általánosítható p darab virágszál és q darab váza esetén is, amikor is a
p
k
p
−
−
k
válasz  ( 1) C  (q k ) .
q
k= 0
16. feladat: Hány olyan n jegyű szám van (n >3), amelyik csupán az 1, 2,
3 számjegyeket tartalmazza, de mindegyiket legalább egyszer?
Megoldás: a logikai szita módszert alkalmaztuk, ahol a résztvevő
halmazok a következők:
A azokat a számokat tartalmazza, amelyekben az 1-es nem szerepel,
B azokat, amelyekben a 2-es nem szerepel,
90