Page 66 - vol2

x + 2 2x + 1
)
Tekintsük az ( )f x = , f ( : 0,1 → függvényt. Mivel "( )f x
3x − 2 2x + 1
)
nem előjeltartó a (0,1 intervallumon, ezért sem nem konvex, sem nem
1
konkáv. Mivel a b c+ + = 1 fennáll ha a b c= = = ezért felírjuk az érintő
3
 1  1    1   1   1 

egyenletét az  , f    belső pontban: y − f   = ' f    x − 
 3  3    3   3   3 
12x + 4
vagyis y = A kővetkező ábrán az érintő a függvényábra alatt van:
3

12x + 4 (x + 1) 2 12x + 4
Ezért bizonyítjuk, hogy ( )f x  =   (3)
y
−
3 2x + 2 (1 x ) 2 3
)
vagyis (3x − 1) (4x + 1)  0, x (0,1 . Ha most felírjuk ezeket az

2

egyenlőtlenségeket x  , ,a b c esetén, akkor azt kapjuk, hogy
(a + 1) 2  12a + 4 (b + 1) 2  12b + 4 (c + 1) 2  12c + 4
−
2a + 2 (1 a ) 2 3 , 2b + 2 (1 b ) 2 3 , 2c + 2 (1 c ) 2 3
−
−
ha most összegezzük ezeket, akkor azt kapjuk, hogy
+
+
+
(a + 1) 2 (b + 1) 2 (c + 1) 2 12(a b c ) 12
+ +  = 8
2a + 2 (1 a ) 2 2b + 2 (1 b ) 2 2c + 2 (1 c ) 2 3
−
−
−

66