Page 61 - vol2

b
1. feladat: Ha a , ,c pozitív valós számok amelyekre a b c+ + = 1,
a 2 b 2 c 2 1
igazoljuk, hogy + +  .
+
+
+
+
2a b c a + 2b c a b + 2c 4
Bizonyítás: Először is vegyük észre, hogy mivel a b c+ + = 1, ezért a
a 2 b 2 c 2 1
bizonyítandó összefüggés meg így írható: + +  . Ezért
a + 1 b + 1 c + 1 4
)
x
tekintsük az f ( : 0,1 → , f ( ) = x 2 függvényt. Mivel
x + 1
2
)
f "( ) = x  0 x  (0,1 esetén, vagyis a függvény konvex, ezért
(x + 1) 3
alkalmazzuk a (*) alatti Jensen-féle egyenlőtlenséget, ami alapján
a b c  +  + 2 1
a b c  +  +   3   9 1

f ( ) + f ( ) + f ( ) 3 f   = 3 = 3 = vagyis
c
b
a
+
+
 3  a b c + 1 4 4
3 3
ezzel bizonyítottuk a feladatot.
Láthattuk, hogy a feladat megoldása szorosan kapcsolódik az f
függvény konvexitásához. Éppen ezért, tegyünk egy kis kitérőt.
Először is nézzük a konvex és a konkáv halmaz definícióját:

Az első halmaz konvex, mert barmely két belső pontját ha
összekötjük, akkor a keletkezett szakasz barmely pontja a halmaz
belsejében marad. Ezzel ellentétben, a második halmaz konkáv, mert a
szakasznak van olyan pontja, amely a halmazon kívül esik.

A konvex függvény legelső definíciója éppen a konvex halmaz
értelmezésen alapszik

61