Page 46 - vol2


Tehát a (2) feltétellel, az x − távolság a legkisebb, ha x = . Így
x
1
2
1
n
  

x
)
x
E ( , ,..., x  E  , ,..., x n  . Most az x  x  ... x ,
x
1
 2 n n 2  2 3 n
(n − 1)
x + x + ... x = és x + x = S (állandó) feltétel mellett
+
3
n
2
n 2 3
megismételjük az eljárást és hasonlóan kapjuk, hogy
    
E ( , ,..., x  E  , , ,..., x n  . Még (n-1)-szer megismételve az
x
x
)
n 2 n  n n 3 
eljárást, végül is a láncszabály alapján azt kapjuk, hogy
        n
=
E ( , ,..., x  x x ) E  , ,...,   sin  vagyis éppen amit
n
1
2
 n n n   n 
bizonyítani akartunk.
n
n
+
n

+
n
3. Ha , ,...,x x 2 x  0 és  x = x , akkor  (1 x i ) (1 x .
)
n
1
i
i= 1 i= 1

Bizonyítás: Feltételezzük, hogy 0 x 1  x  ... x (1). Rögzítsük az
n
2
x
x
x 3 , ,..., x értékeket, így x x 1 2 = P (2) állandó, ahol P = x n :(x x ... ).
4
n
n
1 2
n x
2
) =
+
Legyen ( , ,...,E x x 2 x n  (1 x , k>1 és k  2 . Ekkor kx közelebb
)
1
1
i
i= 1 x 1
x x
van az 2 számhoz, mint az x az x -höz, és 1 k  2 . Tehát felírható,
k 1 2 x 1
hogy:
x x  x  n

−
−
+
x
E (kx 1 , 2 , ,..., x n ) E ( , ,..., x = x 1 x 2 n ) 1 (1 k )  2 − k   (1 x i ) 0 .
3
k k  x 1  i= 3
Tehát, ha az ,x x értékeket úgy közelítjük egymáshoz, hogy a szorzatuk
2
1

P = x x állandó marad, az E ( , ,..., ) kifejezés csökken. Az
x
x
x
1
2
2
1
n
46