Page 42 - vol2

5. Egyenlőtlenségek megoldása Sturm-módszerrel

Számtalan szélsőérték probléma megoldása, vagy egyenlőtlenség
bizonyítása nagyon gyakran, már a matematikai analízis eszközeire

szorítkozik, mint például a Jensen-, Hölder-féle egyenlőtlenség,

deriváltak stb.
A Sturm-módszerrel, számos ilyen – úgymond az algebra, mértan,

trigonometria, és analízis határán „elhelyezkedő” – feladat, elemi
eszközökkel oldható meg.

2
A módszert főleg n  változót tartalmazó, szimmetrikus
kifejezések esetén alkalmazhatjuk, amikor az ismeretlenek valamilyen
kikötésnek vagy feltételnek tesznek eleget.

A módszer lényege röviden: állandó összeg (vagy szorzat)
mellett, valamely kétváltozós kifejezés változását követjük, miközben a

változókat úgy közelítjük egymáshoz, hogy az összegük (illetve a
szorzatuk) állandó maradjon. A változások megfigyeléséből,

meghatározva az egyik változó értékét, újrakezdjük az eljárást, de ezúttal

n − 1 változó esetén. Véges ilyen lépés után, az eljárásunk véget ér.
A módszer lényegét a következő feladatok segítségével jobban

megérthetjük. A módszer kezdetét a következő két tulajdonság jelenti:

1.Tétel: Ha ,x y R és x y+ = S állandó, akkor a ( , ) = y x y szorzat:
P
x
a) növekszik, ha az x − y különbség csökken,

b) csökken, ha az x − y különbség növekszik.

Bizonyítás: Nyilván feltehető, hogy x  y , ekkor létezik olyan e 
0
amelyre 2e  y x . Így az x e+ és y e− számok közelebb vannak
−
42