Page 49 - vol2

4
1) Ha z  , a (**) különbség pozitív, így ( , , )E x y z akkor növekszik, ha
9

1
az x és az y közeledik egymáshoz. Az x y z+ + = 1 és (1) miatt x  , a
3

1
(2) alapján az x legközelebb van az y-hoz, ha x = . Tehát
3


+
x
y
z
y
z
E ( , , )  E   1 , , z , ahol y z = 2 és y  . Hasonlóan

 3  3
2 1 1 1
y  : 2 = , így az y a legközelebb áll a z-hez, ha y = , ezért z = .
3 3 3 3
 1   1 1 1  1
Tehát E  , , z  y  E  , ,  =
 3   3 3 3  4
4
2) Ha z  , akkor a (**) különbség negatív, így E ( , , ) akkor
x
y
z
9
növekszik, ha x-et és y-t távolítjuk egymástól, persze
x+ y= 1-z állandó marad. Az (1) és (2) miatt az x=0, az y-tól a
legtávolabbi értéket adja. Így E ( , , )  x y z E (0, ,y z = ) yz , ahol y z+ = 1

1
és y  . Most az y -t és a z -t közelítenünk kell egymáshoz. De y 
z
2
1 1
miatt a legközelebbi y érték a z-hez, az y = , ahonnan z = . Tehát
2 2

1 1 
E (0, ,y z  ) E   0, ,  = 1 . Ezek szerint E ( , , ) maximális, ha
z
x
y
 2 2  4
1 1
x = y = = vagy x = 0, y = = és a szimmetria miatt, ennek a
z
z
3 2
cirkuláris permutációi.

49