Page 45 - vol2

Megjegyzések: A bizonyítottakból megállapíthatók, hogy:

S
1) Ha az x + x + ...x = összeg állandó, akkor a
n
2
1


P ( , ,..., ) = x x  ... x szorzat akkor a legnagyobb, ha
x
x
x
1 2 n 1 2 n
=
x = x = ... x .
1 2 n


2) Ha az x x  ... x = P szorzat állandó, akkor az
1
2
n
+
x
x
x
S ( , ,..., ) = x + x + ... x összeg akkor a legkisebb, ha
1
1
2
n
2
n
x = x = ... x .
=
n
2
1
n
n
2. Ha , ,...,x x 2 x  0 és  x =  , akkor  sin x    sin    n .
i
i
n
1
i= 1 i= 1  n 

Bizonyítás: A szimmetria miatt feltételezhető, hogy 0 x 1  x  ... x
n
2
x
(1) Rögzítsük az x 3 , ,..., x értékeket, így x + 1 x = 2 S állandó (2), ahol
n
4
n
n 
=
S  −  x . Legyen továbbá ( , ,..., x = n sin x . Közelítsük az
x
)
x
E
2
1
i
i
i= 3 i= 1
, x x értékeket úgy, hogy az összegük S maradjon. Két ilyen érték tehát
1 2


e
e
x + és x − , ahol 0 e x − x . Ekkor
1
2
1
2
−
E (x + , e x − e , ,..., ) E ( , ,..., )
x
x
x
x
x
1 2 3 n 1 2 n
1 n
−
 ) 
= cos(x − x − 2 ) cos(x − x 1  sin x (3).
e
2 2 1 2 i= 3 i
De 0 x 2 − x − 2e x − x  , ezért cos(x − x − 2 ) cos(x − x 1 ) ,



e
2
2
1
1
1
2
tehát a (3) sorában levő különbség pozitív. Tehát, ha x − csökken, és
x
1
2
x + 1 x = 2 S állandó, akkor E ( , ,..., ) növekszik. Az (1) és
x
x
x
2
1
n
n
 x =  alapján, x   (ellenkező esetben x + x + ...x  lenne)

i
1
n
1
2
i= 1 n
45