Page 48 - vol2

9 3
érték. De ekkor az y z =  alapján z = , tehát
4 2

 4 3 3  4 3 3 31
x
S ( , , )  S  , ,  = + + = .
y
z
 9 2 2  9 2 2 9
yz zx xy 1
5. Ha , ,x y z  és x y z+ + = 1, akkor + +  .
0
x + 1 y + 1 z + 1 4
Bizonyítás: A feladatot átírva azt kapjuk, hogy:

 1 1 1  1
xy + yz zx xyz  + +   . Ha most alkalmazzuk az
+
−
 x + 1 y + 1 z + 1  4
x+ 1, y + 1, z + értékekre a számtani és a harmonikus közepek közötti
1
+
+
3 x + 1 y + 1 z + 1 4
egyenlőtlenséget, akkor  =
1 + 1 + 1 3 3
x + 1 y + 1 z + 1
1 1 1 9
+
+
0
y
vagyis + +  . Így ha x , , z  és x y z = 1,
x + 1 y + 1 z + 1 4
elegendő bizonyítani, hogy:
9 1
+
y
x
z
E ( , , ) = xy + yz zx − xyz  (*).
4 4
y
z
Feltételezzük, hogy 0 x   (1), és rögzítsük a z értékét. Tehát
+
−
x y = 1 z (állandó) (2). Közelítsük az x< y értékeket egymáshoz úgy,
hogy közben az összeg változatlan maradjon. Ekkor tehát
 9 
−
−
+
−
−
−
x
y
z
E (x e y e , ) E ( , , ) = ( e y x e ) 1− z (**), ahol 0 e  y x .
,
z


 4 
Ennek alapján:
48