Page 43 - vol2

−
+
egymáshoz, mint az x és y számok, az x  x e  y e  elrendezés
y
−
−
miatt. Mivel 2e  y x , mindenképpen e  y x (i). Ekkor
−
+
=
−
−
−

,
( P x e y e ) P ( , ) e (y x e ) 0, és ezért az a) állítás igaz. Az
x
y
−
x e és y e+ számok nyílván távolabb vannak egymástól, mint az x és
+
y számok. Az x e−   y  y e elrendezés miatt, hiszen x y−  0,
x
méginkább x − y  e (ii). Ekkor felírható, hogy
+
−

−
−
=
−
x
( P x e y e ) P ( , ) e (x y e ) 0, és ezért a b) állítás is igaz.
y
,
+
2. Tétel: Ha ,x y R és x y = P , akkor az ( , )S x y = x y összeg:
+
a) csökken, ha az x − y különbség csökken,
b) növekszik, ha az x − y különbség növekszik.
Bizonyítás: Nyilván feltehető, hogy 0 x  y , ekkor létezik olyan k  1
y y
amelyre k  . Így a kx és számok közelebb vannak egymáshoz,
2
x k
y
mint az x és y számok, a 0   kx   y elrendezés miatt. Mivel
x
k
y y
1 k  2 , ezért mindenképpen 1 k  (iii). Ekkor


x x
 y  x  y 
S kx ,  − S ( , ) = (k − 1) k −   0, ezért az a) állítás igaz. A b)
y
x


 k  k  x 
állítás bizonyítása is hasonló, ott ellenben a k  (0,1) feltételt kell
figyelembe venni.
A továbbiakban terjesszük ki az előző tulajdonságokat a klasszikus
számtani- és mértani közepek közötti egyenlőtlenség bizonyítására.

43