Page 44 - vol2

2
1. Ha minden n  esetén , ,...,x x 2 x  R , akkor fennáll az
+
n
1
+
x + x + ... x n  n x x ...x egyenlőtlenség.
2
1
n 1 2 n


Bizonyítás: Feltételezzük, hogy 0 x  x  ... x , és legyen
1 2 n


x
x
S
x
P ( , ,..., ) = x x  ... x , valamint x + x + ...x = , bármely n 
2
1 2 n 1 2 n 1 2 n
x
,
esetén. Rögzítsük az x 3 , ,..., x értékeket, és az x x változó marad.
n
2
4
1
+
Tehát x + x = − (x + x + ... x állandó. Az 1. Alkalmazás alapján,
)
S
4
2
1
3
n
x
x
x
x
ha az x − különbség csökken, akkor a P ( , ,..., ) szorzat
1
2
n
2
1
S
növekszik. De x  , ezért az x − különbség akkor csökken a
x
1
n 2 1
S  S 
legtöbbet, ha éppen x = . Tehát ( ,P x x ,..., x  P  , x ,..., x n  (1).
)
1
n 1 2 n  n 2 
S (n − 1)S
Továbbá x + x + ...x = − = . Az előbbiek mintájára
S
n
3
2
n n
,
x
rögzítsük az x 4 , ,...,x számokat, az x x pedig legyen változó. Tehát
n
2
5
3
(n − 1)S
+
az x + x = − (x + x + ... x állandó. Továbbá az x − x
)
3
2
n 4 5 n 3 2
x
csökkenése, a P ( , ,..., ) szorzat növekedését idézi elő. De
x
x
n
1
2
(n − 1)S S
x  :(n − 1) = , így az előzőek alapján azt kapjuk, hogy
2
n n
 S   S S 
x
P  , ,..., x n   P  , , ,..., x n  (2).
x
 n 2   n n 3 
Könnyen belátható, hogy ha tovább folytatjuk az eljárást, akkor végül is
S
=

, ,...,
x
P ( , ,..., ) P  S S S    n adódik, ami éppen a
x
x

  
1
2
n
n
 n n n   
bizonyítandó egyenlőtlenséget jelenti.
44