Page 50 - vol2

 7 
+
+
v
6. Ha u , ,w   0, 16   és u v w = 1, határozzuk meg az
=
+
+
+
E ( , , ) (1 u )(1 v )(1 w kifejezés legkisebb értékét.
u
)
w
v
7
Megoldás: Feltételezzük, hogy 0 u   w  (1). Rögzítsük a w-t,
v
16
−
legyenu v , miközben u v+ = 1 w állandó (2). Közelítsük egymáshoz
az u -t és a v -t úgy, hogy az összegük maradjon állandó. Ekkor felírható,
+
−
−
+
hogy E (u e v e , ) E ( , , ) = e (1 w ( ) v u e− − )  ami azt jelenti,
v
,
w
0
u
w
hogy E ( , , ) növekszik, így a minimum meghatározásánál ez nem
u
v
w
segít. Távolítsuk hát az u -t és a v -t úgy, hogy az összegük maradjon
−
állandó. Ekkor az u v+ = 1 w és (1) feltételek mellett a v-től a
legtávolabbra eső u érték nem 0, hiszen u= 0 esetén v+ w= 1 lenne,
1 7
ahonnan w  lenne, ami ellentmond a w  feltételnek. Mivel
2 16
7 7 1 1
−
1 u = v w  + , ezért  , így u = a megfelelő. Ekkor
+
u
16 16 8 8
 1  1 7 1 7
v
w
u
v
v
E ( , , )  E  , ,w ,   w  és v w+ = 1− = (3). További

 8  8 27 8 8
csökkentés végett a w és v közötti távolságot ismét növelni kell. Mivel
7 − v = w  7  7  v , ezért v = 7 a legközelebbi v érték a w-hez, és
8 16 16 16

7  1   1 7 7  9 23  2
a (3) alapján w = . Tehát E  , ,w  v  E  , ,  =   .
16  8   8 16 16  8 16 

1 7
Ezek szerint ( , , )E u v w akkor a legkisebb, ha u = ,v = w = és ennek
8 16
a cirkuláris permutációi.
50