Page 40 - vol2

bizonyítás gerince:

 x + +  3  (x + + z )(xy + yz + zx ) 2  (x + y )(y + z )(z + ) x  2
y
z
y
xyz         .
 3   9   8 
Hát erre bizony nem könnyű egyből rájönni, éppen ezért piszkálgassuk
meg az egyenlőtlenségeket.

Az első egyenlőtlenség teljesüléséhez elegendő, ha bizonyítjuk,

+
2
+
hogy 3xyz (x + y z ) (xy + yz zx ) vagy ha elvégezzük a műveleteket (ez
2
+
2 2
2
2 2
2 2
2
+
gyakran célszerű eljárás) akkor x y + y z + z x  x yz xy z xyz . És
most már jobban látszik, hogy ha xy = a , yz = b , zx = akkor azt kell
c
2
+
+
2
2
bizonyítani, hogy a + b + c  ac bc ca vagyis
−
2
2
−
(a b + (b c + (c a  .
2
−
)
0
)
)
A második egyenlőtlenség bizonyításához elegendő belátni, hogy

8(x + + z )(xy + yz + zx ) 9(x + y )(y + z )(z + ) x . Jobb ötlet híján megint
y
csak azt csináljuk, hogy elvégezzük a műveleteket. Ekkor ezt kapjuk, hogy

elegendő bizonyítani, hogy: xy (x + ) y + yz (y + ) z + zx (z + x ) 6xyz . A

számtani és mértani közepek egyenlőtlensége alapján xy (x + y ) 2xy xy
,


+
yz (y + z ) 2yz yz zx (z x ) 2zx zx
,
,
Ha most három tagra alkalmazva ezt, megkapjuk, hogy
+

+
+
xy (x + ) y + yz (y z ) zx (z x ) 3 2xy xy 2yz yz 2zx zx = 6xyz .
3
A módszer jobb elmélyítése végett, az érdeklődő Olvasónak a következő
feladatok megoldását javasoljuk:
A B B C C A 3
1) sin sin + sin sin + sin sin 
2 2 2 2 2 2 4
A B B C C A 9 3 1 1 1
2) cos cos + cos cos + cos cos  3)  + +
2 2 2 2 2 2 4 R a b c
A B C 3 A B C 3 3
4) sin + sin + sin  5) cos + cos + cos 
2 2 2 2 2 2 2 2

40