Page 195 - vol2

22. Másodrendű mátrixok hatványozása
karakterisztikus egyenlettel

Ebben a paragrafusban a mátrixok hatványozásának egy újabb
módszerével ismerkedünk meg. Ez a módszer a Cayley-Hamilton
x  y
karakterisztikus egyenleten alapszik, amelyik a következő: Ha A =  
 z t 

+
akkor A − t A d I = O ahol t TrA= és d = det A (*). A képlet

2
2
2
ellenőrzése azonnali, egyszerű számolásokkal rögtön adódik.
IV. A karakterisztikus egyenlet módszere
A következőkben, a mátrixok hatványozását a (*) alatti
karakterisztikus egyenlettel kezdjük el, és ezt továbbfejlesztjük. Mivel az
+
A − t A d I = O másodfokú mátrixegyenlet lehet hiányos másodfokú

2

2
2
egyenlet is, előbb ezeket az eseteket tárgyaljuk le.
 2 2
1. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
n
 1 1 
esetén!
0
3
Megoldás: vegyük észre, hogy d = és t = , ezért karakterisztikus

egyenlet A − 3 A O  A = 3 A. Ezért A = 3 A = 3  A,
2
2
=

2
2
3

2

3
A = 3 A = 3 A, így feltételezzük, hogy A = k 3 k− 1  A. Indukcióval
4
3

bizonyítjuk, hogy A k+ 1 = 3  k A. Valóban,

k
k
2
A k+ 1 = A  A = 3 k− 1  A A = 3 k− 1  A = 3 k− 1  3A = 3  A . Ezzel a feladatunkat
megoldottuk.
−  1 1
2. feladat: Ha A =   , akkor számítsuk ki az A hatványt n  *
n
 2 1 
esetén!

195