Page 169 - vol2
P. 169
3 1
E < egyenlőtlenség adódik. A bizonyított megközelítések kellő-
n
2 2n
1 1 3
en „erősek”, hiszen a igaz a következő becslés: n ∙ E [ ; ) és ez
n
2 2 2
utóbbi megközelítőleg egy 0,11237… hosszúságú intervallum, ami azt jelenti,
hogy a becslések valóban „élesek”.
Mindezek ellenére, a 3. és az 5. feladat összevonásából a következő
egyenlőtlenséglánc jobboldali becslése élesebb korlátot ad, mint az előbbi becs-
lés:
8. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám esetén
igaz a következő egyenlőtlenséglánc:
1 1 < 1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1) < 3 1
n
2 n 2 4 6 ... (2n − 2) (2 ) 3 n
A baloldali egyenlőtlenség a 3. feladat, a jobboldali egyenlőtlenség pedig az 5.
feladat „gyengítéséből” származik, hiszen
1 1 3 1
E < = és vegyük észre, hogy
n
3n + 1 3n 3 n
3 < 3
1
3 2 2 és megvan az az érdekessége is, hogy a 2. feladathoz hasonlóan
a 8. feladat jobboldali egyenlőtlensége ezúttal sem bizonyítható M.i.-val.
Az idők során természetesen merült fel olyan ( )a n n 1 és ( )b n n 1 soro-
zatok keresése, amelyekre a n ∙ E b úgy, hogy lim a = lim b és
n n n n→ n n→ n
ez a közös határérték véges szám.
Eléggé hosszas számolásokkal, de elemi módszerekkel a [8]-ban megta-
lálunk egy választ:
9. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely n 1 természetes szám esetén igaz a
következő:
1 2n − 1 1 1 3 5 ... (2n − 3) (2n − 1) 1 1
∙ ∙ < <
2n n x n 2 4 6 ... (2n − 2) (2 ) n y n
n
∙
169
