Page 130 - vol2

 1 + 4a + 1 
és korlátos, pontosabban a   , a  . Ezért konvergens, és ha

n
 2 
+
lima = , akkor ez teljesíti az x = a x  x − x a = 0 egyenletet,
−
2
x
n→ n
1 + 4a + 1
amelynek pozitív gyöke csak az x = . Az 1. Megjegyzés
2
alapján, ez a határérték akkor és csakis akkor lesz természetes szám az
a N valamely értékére, ha a = (k − 1)k és k  N * \   1 , minden más
*
esetben irracionális szám.
Az előbbi típusú
sorozatok tagjainak érdekes
mértani szemléltetésük és
jelentésük van. A könnyebb
ábrázolás céljából elemezzük
az a= 2 esetet (lásd az 5.
Kísérletet). Ugyanabban a
koordináta rendszerben
ábrázoljuk
)
2,
az f  : −  → R ,
+
+
f ( ) = x 2 x és a
R
x
x
g : R → , g ( ) =
+
függvényeket. Próbáljuk ábrázolni az a = 2 és a n+ 1 = 2 a
n
1
rekurziós képlettel értelmezett sorozat tagjait, vagyis az
a
a
a 1 , a = f ( ), a = f ( ), ..., a = ( f a n− 1 ), ... számokat. Észrevehető,
2
n
1
3
2
hogy ahogyan az n N értéke egyre nagyobb értékeket vesz fel, úgy az
*
előbbi sorozat tagjai az ( )f x = 2 x egyenletű függvénygörbén egyre
+
jobban közelednek a (2, 2) koordinátájú ponthoz, vagyis éppen az
=
+
2
f ( ) = x  2 x = x  x − − 2 0 egyenlet egyetlen pozitív
x
x
x
gyökéhez, az x= 2-höz. Az ( )f x = egyenlet megoldásait az f függvény
fixpontjának nevezik. Esetünkben az x= 2 (ami éppen a sorozat
+
határértéke is), az f ( ) = x 2 x képlettel értelmezett függvény
fixpontja, ami az ábrán az ( )f x = 2 x és a ( )g x = függvényeknek a
+
x
metszéspontjának az abszcisszája.

130