Page 131 - vol2

9. Kísérlet:
Egy zsebszámológépbe írjuk be az 1-es inverzét, majd adjunk hozzá 1-et.
Ennek az eredménynek az inverzéhez megint adjunk 1-et, és a kijött
eredmény inverzéhez újból adjunk 1-et. Ezt ismételjük meg mindaddig,
amíg a kijelzőn ugyanazt a számot nem kapjuk. Mit mondhatunk az így
értelmezett sorozat monotonitásáról, korlátosságáról és határértékéről?
Hogyan magyarázzuk meg a látottakat?
Megoldás: Egy zsebszámológép kijelzőjén amely 8 karaktert tud
megjeleníteni, rendre ezt láthatjuk: 2; 1.5000000; 1.6666666; 1.6000000;
1.6250000; 1.6153846; 1.6190476; 1.6176470; 1.6181818; 1.6179775;
1.6180555; 1.6180257; 1.6180371; 1.6180328; 1.6180344; 1.6180338;
1.6180340; 1.6180339; 1.6180339; 1.6180339; …
1 1
A sorozatot így értelmeztük: a = 1, a = + 1, a = + 1, és általában
1 2 a 1 3 a 2
1
a = + 1, minden n  1 estén. Ha a kijelző számait követjük azt
n+
1
a
n
látjuk, hogy a sorozat se nem növekvő se nem csökkenő, ellenben

a  a  a  ... a  ...és a  a  a  ... a  ... vagyis a

1 3 5 2k− 1 2 4 6 2k
sorozatnak a páratlan indexű részsorozata szigorúan növekvő, és a páros
indexű részsorozata pedig szigorúan csökkenő. Ezt a sejtést be is
bizonyíthatjuk, hiszen a rekurzió alapján
 1   1  1
a n + 2 − a =  + 1 − + 1 = (a − a n − 2 ) és
 

n
n
 a n   a n− 1  a a a a 2
n+
1 n n−
1 n−
alkalmazzuk a matematikai indukció módszerét. A korlátosságot illetően
1+ 5
bizonyíthatjuk, hogy 1 a   a  2 . Ezért a sorozat korlátos
2k−
1
2 2k
is, így a Weierstrasse tétele értelmében konvergens, vagyis van
1
határértéke. Legyen lima = , így az a = + 1 rekurzió alapján
x
n→ n n+ 1 a n
1
2
x = + 1 x − − 1 0 egyenlet adódik, amelynek a pozitív gyöke az
=
x
x
1+ 5
x =  1.6180339úgynevezett „aranymetszés szám”. Mint
2
látható, a számológép kijelzőjén is ez a 7 tizedes pontosságú szám jelent
meg mint határérték.

131