Page 132 - vol2

3. Megjegyzés:
Amennyiben az előbbi kísérletnél az a = 1 helyett egy tetszőleges
1
1
a = a  0 számot vennénk, akkor az előző sorozat az a = + a
n+
1
1
a n
rekurzióval lesz értelmezve, és az előbb bizonyítottak mintájára itt is
1+ 5
ugyanazon eredmények bizonyíthatók csak az helyett az
2
a + a + 2 4 tört lesz.
2
4. Megjegyzés:
Ismert, hogy a Fibonacci sorozatot így értelmezzük: f = f = 1 és
1 2
f = f + f minden n  1 esetén. Képezzük a Fibonacci sorozat két
n + 2 n + 1 n
f
egymásutáni tagjának az arányának a sorozatát, vagyis legyen k+ 1 = a
f k k
1
minden k  esetén. Ekkor f = f + f  a = + 1 vagyis
1
n+
n+
n+
n
2
1
1
a n
visszakaptuk éppen az előző kísérletbeli sorozatot. Az ott bizonyítottak
alapján tehát a Fibonacci sorozat két egymásutáni tagjának az arányából
1+ 5
képezett sorozata konvergens, és a határértéke .
2
Befejezésül megjegyezzük, hogy számos más elsőrendű rekurziós
összefüggéssel értelmezett sorozat konvergenciája tanulmányozható a
számológéppel. Az érdeklődő Olvasónak javasoljuk, hogy a bemutatottak
mintájára tanulmányozza a következő rekurziós összefüggésekkel
értelmezett sorozatok konvergenciáját:
3
1) a = a  és a = 4a − 1 minden n  1 esetén.
1
4 n+ 1 n
2) a = 1 a  0, k> 0, a n+ 1 = a + n k minden n  1 esetén.
1  k 
0
3) a  , k> 0, a =  a +  minden n  1 esetén.
n+
1
1
2  n a n 

132