Page 116 - vol2

2. Megoldás: komplex számokkal

Legyenek tehát a, b, c, d, g, i, m az A, B, C, D, G, I, M csúcsokhoz
rendelt komplex számok (affixumok).
(1) ABCD paralelogramma, ezért a c+ = + d ahonnan a = + d − c
b
b
+
+
a b c
(2) Az ABD háromszögben G súlypont, ezért g =
3
(3) A BCD háromszögben I beleírt kör középpontja (szögfelezők
metszéspontja) és BC=2, CD=4, DB=3, ezért
4b + 3c + 2d 4b + 3c + 2d
i = =
+
+
4 3 2 9
(4) Az M pont a BC szakaszon a C-hez közelebb eső harmadoló pont,
b + 2c b + 2c
ezért m = =
+
1 2 3
(5) Ahhoz, hogy a g, i, m pontok kollineárisak legyenek elegendő ha
g  + m 1 
létezik olyan  valós szám amelyre i = = g + m
1  1   + 1
+
+

(6) Ha az (1) és (2) alapján az g-be beírjuk az a kifejezését, akkor azt
2 2 1
kapjuk, hogy g = b + d − c
3 3 3
(7) Ha most az (5)-ben az i, g, m affixumok helyére beírjuk a (3), (4),
(6) eredménye alapján kifejezett affixumokat, rövid számolásokkal
=
adódik, hogy ( − 2)(b− 3c + 2 ) 0, ahonnan  = . Tehát létezik a
2
d
kért  valós szám. Ez tehát még azt is elárulja, hogy amellett, hogy G,
I, M kollineárisak, és még a GI:IM=2:1 arány is fennáll.

3. Megoldás: koordinátákkal

,
A szóbanforgó pontok koordinátái legyenek rendre (A x y A ) ,
A
A
,
,
,
( B x y B ) , (x y C ) , (D x y D ) , (G x y G ) , ( ,I x y , M (x M , y M ) . A
)
,
I
B
D
C
G
I
következő ismert összefüggéseket írhatjuk fel:
x + x x + x
(1) ABCD paralelogramma átlói felezik egymást: A C = B D és
2 2
y + y C = y + y D , ahonnan x = x + x − x és
B
A
2 2 A B D C
y = y + y − y
A
C
D
B
116