Page 56 - vol1
P. 56
( n n + 1)
+
+
+
+
+
(a r ) (a + 2 ) ... (a nr = n a + r ,
)
r
2
ahol r és n * . Így eljutunk az ún. számtani haladvány (sorozat) első n
0
tagjának az összegképletéhez, amit már Babilóniában Kr. e. a VI–III. században,
a hinduk az V–XII. században, a kínaiak pedig a VI–IX. században ismertek.
2
2
2
12. feladat: Számítsuk ki az 1 + 2 + ... 100 összeget!
+
1. Megoldás: Érdemes megjegyezni, hogy a négyzetszámok összegezési
eljárását a babilóniai matematikusok már i. e. 600 és i. sz. 300 között ismerték.
Kínában 1050-ben Csön Huo (1011–1075) határozta meg először az első n
négyzetszám összegét. Az összegezési eljárás Sen Ko (XI. sz.), Jang Huj
(XIII. sz.) és Csu-Si-Kie (XIV. sz.) műveiben is megtalálható (lásd az alábbi
eljárást). Az indiai matematikusok az V. és XII. század között szintén ismerték
az összegezés módját.
Jang Huj és Csu-Si-Kie a mellékelt ábrán látható
téglalapról olvasta le az összeget, miután megfigyel-
ték, hogy:
+
+
+
+
+
+
1 = 1; 2 = 2 1 3 ; 3 = 1 3 5 ; 4 = 1 3 5 7 ; …;
2
2
2
+
+
2
+
+
100 = 1 3 5 ... 199
összegezéssel felírták, hogy:
+
+
+
+
2
1 + 2 + ... 100 = 100 1 99 3 98 5 ... 1 199 (*)
2
+
2
2
Az ábra az 1 + 2 + 3 + 4 + 5 összeg három-
2
2
2
2
szorosát szemlélteti: a sötét pontok ennek az összegnek a (*) alakú
átrendezését, míg a karikák a négyzetszámok kétszeres összegét.
Al-Kashi szamarkandi perzsa matematikus (a XV. sz. elején)
A számítások kulcsa című könyvében n = 100-ra a következő bizonyítási eljárást
használja:
(*)
+
2
+
+
+
2
+
2
+
2
+
2
2
=
2
3(1 + 2 + ... 100 ) 2(100 + 99 + ... 2 + 1 ) (100 1 99 3 98 5 ... 1 99) =
+
+
+
= (2 100 + 100 1) (2 99 + 99 3) ... (2 2 + 2 98) (2 1 + 1 99) =
+
2
2
2
2
100 101
+
+
= 100 201 99 201 ... 2 201 1 201 201(1 2 ... 100) = 201 .
+
+
+
=
+
+
2
100 101
Tehát 1 + 2 + ... 100 = 201 , és ennek alapján, teljesen hasonlóan
+
2
2
2
6
bizonyítható, hogy:
56
