Page 59 - vol1

Megoldás: Jól megfigyelve a szemléltetett sajátos esetet, ez a következőket
sugallja:
2 3  2 3 2
3 3 +
+  1 2 2 2 2

2 3 +
+
1 3

 3 4  2  3 3 2
  −  
 2   2 


3 4 2  2 3  2 1   2  2
2  1   2     2   −   2  
 2 
( n n − 1)   ( n n −  2 ( n n − 1)   ( n n − 1)  2
1)
3
n = (n − 1)n + n = 2 n n =  + 2  + 2 n n   + 2 −   =
2
2
2   2  2     2 
1)
1)
=   ( n n − 1) + n   2 −   ( n n −   2 =   ( n n + 1)   2 −   ( n n −   2 .
 2   2   2   2 
 ( n n + 1)  2  ( n n − 1)  2
Tehát n = 3   −   . Ez alapján, ugyancsak az ábrát követve
 2   2 
igazolható, hogy







3
3
3
1 + 2 + 3 + ... 100 =   1 2   2 +   2 3   2 −   1 2   2   +   3 4   2 −   2 3   2   + ...
+
3
 2     2   2       2   2   

  99 100  2  98 99  2    100 101 2  99 100  2   100 101 2





...+   −    +   −    =   .
   2   2       2   2     2 
+
+
+
+
Tehát 1 + 2 + ... 99 + 100 =   100 101   2 = (1 2 3 ... 99 100) .
+
+
3
3
3
3
2
 2 
A (*) alapján hasonlóan bizonyítható, hogy minden n * esetén
+
+
1 + 2 + ... n =    ( n n +  2 1)   2 = (1 2 ... n ) .
+
+
2
3
3
3
Befejezésül megjegyezzük, hogy az előbbiekben bemutatott reprezentációk
alapján az érdeklődő Olvasó még sok más, hasonló összefüggés bizonyítását
megkísérelheti.

59