Page 60 - vol1

7. Az aranymetszés és a Fibonacci számok mindenütt

Aranymetszésről beszélünk, amikor egy mennyiséget, illetve egy
adott szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aránylik a
nagyobbikhoz, mint a nagyobbik rész az egészhez.

+
a b a a 1 5
=
2
x
Tehát = és legyen = x , így x − − 1 0 ahonnan x = .
a b b 2
1+ 5
Az egyenlet pozitív gyöke  = = 1,618033988... (nagy „Phi”,
2
1
magyarul „fi”). Használatos még a  = arány is, vagyis

−
5 1
 =  0,618034.... és a két számra teljesül, hogy   = 1. Tehát
2
a =  illetve b = a  ugyanazt fejezik ki, így ezért emlegetik
b
mindkét számot aranyszámnak. Mi a továbbiakban az aranymetszés
a
száma alatt az =  számot értjük.
b
Az aranyszám végtelen lánctört formájában, illetve végtelen gyök
formájában is előállítható, nézzük a következőket:
1 1 1 1
 = 1+ ,  = 1+ ,  = 1+ , és végül  = 1+
 1+ 1 1+ 1 1+ 1
 1+ 1 1+ 1
 ...
illetve

 = 1+  ,  = 1+ 1+  ,  = 1+ 1+ 1+ és végül

 = 1+ 1+ 1+ 1 ... A két összefüggés alapján a következő
+
1
rekurziós képleteket állapíthatjuk meg x = 1, és x = 1 + , illetve
n+
1
1
x n

60