Page 44 - vol1

2. feladat: Keressük meg figurálisan az x + 2 x = 9 és x + 2 x = 22

egyenletek pozitív gyökének a megközelítő értékeit

Megoldás: Az ókori Görögök a következőképpen jártak el: mivel az egyenlet
baloldala x + , ezért elkezdték ábrázolni az n + = ( n n + 1) alakú
2
2
n
x
téglalapszámokat:

1) Keressük meg például azt a két egymásutáni (n n + 1) és (n + 1)(n + 2)
téglalapszámot, amelyek közrefogják a szóbanforgó számot.
Esetünkben 2 3 9 3 4    , illetve 4 5 22 5 6    .
2) Ábrázoljuk figuratívan az n (n + 1) téglalapszámot, majd bővítsük ki a
−
(n+ 1)(n+ 2) n (n+ 1) 2n+ gnómonszámmal úgy, hogy
=
2
megkapjuk a (n + 1)(n + 2) téglalapszámot.
3) Ezután színezzük sötétre a 9, illetve 22 pöttyöt, a többit hagyjuk
világosan, ahogy az alábbi ábrák mutatják:

4) Az eredmény egészrésze az (n n + 1) -ből az n lesz, esetünkben rendre
2, illetve 4, ami éppen annak a legnagyobb (n n + 1) típusú téglalapszám

a „mérete” amely fekete jelekből áll. (az ábrákon sorra leválasztottuk a
gnómonszámokat, ezek száma is ugyanaz mint az n)
5) Ezután képeztük a törtrészt alkotó közönséges törteket: a nevezőjük a
gnómonszám pöttyeinek a száma, a (n+ 1)(n+ 2) n (n+ 1) = 2n+ és a
−
2

44