Page 42 - vol1

1) Keressük meg például azt a két egymásutáni n és (n+ 1)
2
2
négyzetszámot, amelyek közrefogják a szóbanforgó számot. Esetünkben


2  2 8 3 , 3  2 8 4 , 4  2 22 5 .

2
2
2
2
2) Ábrázoljuk figuratívan az n négyzetszámot, majd bővítsük ki a (2n+1)
2
gnómonszámmal úgy, hogy megkapjuk az (n+ 1) négyzetszámot.
3) Ezután színezzük sötétre a 8, illetve 11, illetve 22 pöttyöt, a többit
hagyjuk világosan, ahogy az alábbi ábrák mutatják:

2
4) Az eredmény egészrésze az n -ből az n lesz, esetünkben rendre 2, 3,
illetve 4, ami éppen annak a legnagyobb négyzetszámnak a „mérete”
amely fekete jelekből áll. (az ábrákon sorra leválasztottuk a
gnómonszámokat, ezek száma is ugyanaz mint az n)
5) Ezután képeztük a törtrészt alkotó közönséges törteket: a nevezőjük a
gnómonszám pöttyeinek a száma, a 2n+1 és a számláló a gnómon
4 2 6
számban szereplő fekete jelek száma, esetünkben rendre , , .
5 7 9
Ezzel meg is volnánk, és máris megkaptuk a 8 , 11 , 22 számok
megközelítő értékeit, ahogyan az előző ábrákon is látható.

Első kérdésünk ami felmerülhet: vajon mennyire pontosak ezek a
megközelítések? Nézzük csak:

 4  2  2  2  6  2


 2  = 7,84 8  3  = 10,79 11 4  = 21,77  22

 5   7   9 
Mondhatni, hogy valóban jó megközelítéseket kaptunk!
Érdemes felfigyeljünk arra, hogy az előbbi „Görög-módszerrel”
tulajdonképpen az x = m egyenletnek a pozitív gyökét határoztuk meg, ha
2

*
m N nem négyzetszám.

42